Um paralelepípedo de base
e altura 30 está apoiado no solo por uma aresta da base, formando um ângulo de
. A outra base está aberta, e o sólido receberá água até uma altura
. Para quais valores de
a altura da água, o volume de água e o volume do paralelepípedo formam, nessa ordem, uma PG?
Passo 1
O enunciado descreve um paralelepípedo de base
e altura
apoiado sobre a aresta
(de comprimento
), de modo que a face lateral
fica inclinada em
. A face superior está aberta e recebemos água até uma altura vertical
. Precisamos:\r
- Modelar o volume de água
em função de ;\r - Exigir que os três termos
, e formem uma PG, ou seja, \r
Passo 2
Escolhemos as coordenadas na face inclinada antes da rotação como
. Após inclinar em
em torno da aresta
, a altura vertical de um ponto
fica\r
A água até altura
satisfaz
, isto é,\r
Passo 3
O volume de água é a área dessa região na seção inclinada vezes a largura
. Chamando de
essa área no retângulo
, temos dois regimes (pois
varia de
a
, mas a caixa “abre” em
):\r
\r
\r
- Se
, a região é o triângulo e\r
\r
2. Se , a região é o “triângulo cortado” mas ainda dá\r
2. Se
Passo 4
A condição de PG exige\r
Vamos resolver em cada ramo.
Passo 5
- Para
(ou seja ),\quad . Substituindo:\r
\r
Descartamos
, ficando \r
Verificamos
, logo é válido.\r
\r
2. Para ,\quad
. A equação\r
\r
2. Para
vira um polinômio quadrático em
cujas raízes ficam aproximadamente
e
, ambas menores que
. Logo não atendem ao intervalo
.