Um poliedro convexo possui 12 faces e cumpre as seguintes condições:
  • Todas as faces são triângulos isósceles;
  • Todas as arestas possuem medida \\\mathbf{x}\\ ou (\\mathbf{y}\");
  • De cada vértice partem 3 ou 6 arestas; e
  • Todos os ângulos diedros entre faces adjacentes são iguais.
    Encontre a razão \\\frac{x}{y}\\\").

Passo 1

O enunciado descreve um poliedro convexo de 12 faces, todas triângulos isósceles, com arestas de dois comprimentos x e y, vértices de grau 3 ou 6, e todos os ângulos diedros iguais. Esse poliedro é precisamente o triakis-tetraedro, que é o dual do tetraedro truncado arquimediano. Nas faces isósceles do triakis-tetraedro, a “base” corresponde a uma aresta do tetraedro original (comprimento x) e os dois lados iguais são as arestas que ligam o ápice do pequeno “piramidinha” ao vértice do tetraedro (comprimento y).

Passo 2

Para cada face isósceles do triakis-tetraedro, a base vale exatamente a aresta do tetraedro regular inicial. Se essa aresta for x, o centro da face triangular original (tamanho x) fica a uma distância \tfrac{x}{\sqrt{3}} de cada vértice. Sobre essa face colocamos uma pirâmide de altura h, gerando arestas de valor
y = \sqrt{\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2} + h^{2}}.

Passo 3

Como o triakis-tetraedro é isoédrico (todos os ângulos diedros iguais), essa condição fixa o valor de h em função de x. De fato, igualamos o diedro ao longo de uma aresta base (duas faces que dividem uma aresta do tetraedro original) com o diedro ao longo de uma aresta lateral (duas faces que se encontram na “aresta do ápice”). A pesquisa clássica em sólidos catalães (dual dos arquímedes) mostra que, para o tetraedro truncado, esse corte ocorre de modo que
h = \frac{x}{\sqrt{6}}.

Passo 4

Substituindo h = \tfrac{x}{\sqrt{6}} na expressão de y, obtemos
y \;=\; \sqrt{\Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{x}{\sqrt{6}}\Bigr)^{2}} \;=\; x \,\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} \;=\; x \,\sqrt{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} \;=\; x \,\sqrt{\frac{3}{6}} \;=\; x \,\sqrt{\frac12} \;=\; \frac{x}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Portanto, a razão procurada é
\frac{x}{y} \;=\; \frac{x}{\,\tfrac{x}{\sqrt{2}}\,} \;=\; \sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{2}

Exercícios relacionados