O paralelepípedo 0<x<L, 0<y<2 L,-5 L<z<0 está submerso num fluido cuja distribuição de pressões é dada por
p=p_{0}+\gamma(x+y-3 z)
Obtenha a força exercida pelo líquido sobre o paralelepípedo através do subconjunto da face z=0 onde y<x. São dados p_{0}, \gamma e L. Não precisa resolver integrais…

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo submerso num fluido com distribuição de pressão
p = p_{0} + \gamma\,(x + y - 3z)
e pede a força exercida pelo líquido sobre a face z=0 restrita ao subconjunto onde 0<x<L e 0<y<x. Vamos aplicar o princípio de que a força de pressão sobre uma superfície S é
\vec F = \iint_{S} p\,\vec n\,\mathrm{d}S
onde \vec n é o vetor normal unitário apontando do fluido para o sólido.

Passo 2

Na face z=0 temos z=0, logo a pressão reduz-se a
p(x,y,0)=p_{0}+\gamma\,(x+y)\,.
Essa face é o “teto” do paralelepípedo e o fluido está acima dela, de modo que a força resultante é dirigida para baixo, ou seja, na direção -\mathbf{k}.

Passo 3

O elemento de área na face z=0 é \mathrm{d}S=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. O vetor normal unitário, do fluido para o sólido, é -\mathbf{k}. Portanto, o elemento de força é
\mathrm{d}\vec F = p(x,y,0)\,(-\mathbf{k})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =-\mathbf{k}\,\bigl[p_{0}+\gamma\,(x+y)\bigr]\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Agora integramos sobre a região 0<x<L e 0<y<x:
\vec F = -\mathbf{k} \int_{x=0}^{L} \int_{y=0}^{x} \bigl[p_{0}+\gamma\,(x+y)\bigr] \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Resposta

\boxed{ \vec F = -\mathbf{k} \int_{0}^{L} \int_{0}^{x} \bigl[p_{0}+\gamma\,(x+y)\bigr] \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x }
onde p_{0}, \gamma e L são dados.

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