O gradiente de pressões para um certo fluido estático é dado por:
\nabla p=\alpha(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}), \quad \alpha>0
Obtenha o vetor aceleração da gravidade \mathbf{g}.
São dados: a constante positiva \alpha e o módulo da aceleração da gravidade g.

Passo 1

O enunciado diz que, num fluido estático, o gradiente de pressão é
\nabla p = \alpha\,(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}), \qquad \alpha>0.
O conteúdo aqui é mecânica dos fluidos em equilíbrio, cuja lei fundamental é a equação da estática hidroestática, que relaciona o gradiente de pressão à aceleração da gravidade \mathbf{g} e à densidade \rho:
\nabla p = \rho\,\mathbf{g}.
Sabemos ainda o módulo g = \|\mathbf{g}\| e queremos achar o vetor \mathbf{g} em função de \alpha e g.

Passo 2

Da equação
\nabla p = \rho\,\mathbf{g}
segue diretamente
\mathbf{g} = \frac{1}{\rho}\,\nabla p = \frac{\alpha}{\rho}\,(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}).
Neste ponto, \rho é ainda desconhecida, mas saberemos que a direção de \mathbf{g} é a de (\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}).

Passo 3

Escrevemos o vetor unitário na direção de (\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}). Seu módulo é
\bigl\|\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}\bigr\| =\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}.
Logo o versor \hat{\mathbf{u}} dessa direção é
\hat{\mathbf{u}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\,(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}).

Passo 4

Como \mathbf{g} tem módulo dado g e direção \hat{\mathbf{u}}, podemos escrever
\mathbf{g} = g\,\hat{\mathbf{u}} = \frac{g}{\sqrt{3}}\;(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}).
Isto define \mathbf{g} sem precisar conhecer \rho.

Resposta

\boxed{\mathbf{g} = \frac{g}{\sqrt{3}}\;(\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}).}

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