Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano:
Determine o valor de m para que a reta r:(x, y, z)=(1,0,2)+t(m, 2,-1) seja:
Perpendicular ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:(x,y,z)=(1,0,2)+t\,(m,2,-1)
ou seja, o ponto da reta é (1,0,2) e o vetor diretor da reta é
\mathbf{v}=(m,2,-1).
A pergunta é: determinar o(s) valor(es) de m para que a reta r seja perpendicular ao plano \pi.
Informações relevantes fornecidas:
\mathbf{v}=(m,2,-1) (vetor diretor da reta) e o pedido é "reta perpendicular ao plano \pi".
Informação que falta no enunciado:
A equação do plano \pi ou, equivalentemente, o vetor normal \mathbf{n} de \pi não foi fornecido. Sem essa informação não há dados numéricos suficientes para encontrar m.

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Um plano \pi pode ser escrito pela equação
ax+by+cz+d=0,
onde os números a,b,c formam o vetor normal do plano:
\mathbf{n}=(a,b,c).
Esse vetor \mathbf{n} é perpendicular a qualquer vetor que pertença ao plano.
Critério de perpendicularidade entre reta e plano:
A reta é perpendicular ao plano se, e somente se, o vetor diretor da reta for paralelo ao vetor normal do plano. Em símbolos:
\text{reta } r \perp \pi \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{v}\\ \text{é paralelo a}\\ \mathbf{n}.é
O que significa “paralelo” entre vetores na prática?
Dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{n} são paralelos se existe um número real \lambda tal que
\mathbf{v}=\lambda\mathbf{n}.
Escrevendo em componentes, se \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf{n}=(a,b,c), então deve ocorrer
v_1=\lambda a,\quad v_2=\lambda b,\quad v_3=\lambda c.
Isso dá relações de proporcionalidade
\frac{v_1}{a}=\frac{v_2}{b}=\frac{v_3}{c}=\lambda,
sempre que a,b,c não sejam zero de forma inadequada (trata-se caso a caso).
Alternativa com produto vetorial:
Dois vetores são paralelos se, e somente se, o produto vetorial entre eles é o vetor nulo:
\mathbf{v}\times\mathbf{n}=\mathbf{0}.
Isso gera três equações escalares que também podem ser usadas para determinar incógnitas.

Passo 3

Aplicando o critério ao nosso caso:
Temos \mathbf{v}=(m,2,-1). Se o plano \pi tiver vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c), então para que r\perp\pi devemos ter
(m,2,-1)=\lambda(a,b,c)
para algum \lambda\in\mathbb{R}. Ou seja,
m=\lambda a,\quad 2=\lambda b,\quad -1=\lambda c.
A partir das duas últimas igualdades obtemos \lambda=\dfrac{2}{b} (se b\neq0) e \lambda=\dfrac{-1}{c} (se c\neq0); para existir solução essas razões têm de ser iguais:
\frac{2}{b}=\frac{-1}{c}.
Se isso ocorrer, então m=\lambda a com \lambda dado por uma dessas expressões.
Observação importante: sem conhecer (a,b,c) (ou a equação explícita do plano \pi), não há como calcular numericamente \lambda nem, portanto, m.

Passo 4

Exemplo concreto (para ver o procedimento na prática):
Suponha que o plano \pi tenha vetor normal \mathbf{n}=(1,2,-1) (isto corresponde, por exemplo, à equação do plano 1\cdot x+2\cdot y-1\cdot z+d=0 para algum d). Então, impondo
(m,2,-1)=\lambda(1,2,-1),
vemos pelas componentes que
2=\lambda\cdot 2\quad\Rightarrow\quad \lambda=1,
e também
-1=\lambda\cdot(-1)\quad\Rightarrow\quad \lambda=1,
consistente. Logo
m=\lambda\cdot 1=1.
Portanto, se \mathbf{n}=(1,2,-1), o valor requerido é m=1.
Esse exemplo mostra o passo a passo: 1) identificar \mathbf{n}, 2) igualar componentes por um escalar \lambda, 3) resolver para \lambda e então para m.

Passo 5

Conclusão para o enunciado dado:
No enunciado que você me deu a reta está completamente definida, mas o plano \pi não tem nenhuma informação (nem sua equação, nem seu vetor normal). Pelo critério explicado, para achar m é necessário conhecer o vetor normal \mathbf{n} de \pi. Sem isso não há condição numérica que determine m.
Se o seu professor deu a \pi em algum outro lugar do material (uma equação, um gráfico com normal indicado, ou dois vetores geradores do plano), aplique o procedimento do Passo 3 usando aquele \mathbf{n}; eu posso fazer isso para você se você me passar a equação do plano ou o vetor normal.

Resposta

Não é possível determinar o valor de m porque a equação do plano \pi (ou o seu vetor normal \mathbf{n}) não foi fornecida.

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