Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano:
Determine o valor de
para que a reta
seja:
Perpendicular ao plano
.
Perpendicular ao plano
Passo 1
O enunciado dá a reta
ou seja, o ponto da reta é
e o vetor diretor da reta é
A pergunta é: determinar o(s) valor(es) de
para que a reta
seja perpendicular ao plano
.
Informações relevantes fornecidas:
(vetor diretor da reta) e o pedido é "reta perpendicular ao plano
".
Informação que falta no enunciado:
A equação do plano ou, equivalentemente, o vetor normal
de
não foi fornecido. Sem essa informação não há dados numéricos suficientes para encontrar
.
A equação do plano
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Um plano pode ser escrito pela equação
Um plano
onde os números
formam o vetor normal do plano:
Esse vetor
é perpendicular a qualquer vetor que pertença ao plano.
Critério de perpendicularidade entre reta e plano:
A reta é perpendicular ao plano se, e somente se, o vetor diretor da reta for paralelo ao vetor normal do plano. Em símbolos:
A reta é perpendicular ao plano se, e somente se, o vetor diretor da reta for paralelo ao vetor normal do plano. Em símbolos:
O que significa “paralelo” entre vetores na prática?
Dois vetores e
são paralelos se existe um número real
tal que
Dois vetores
Escrevendo em componentes, se
e
, então deve ocorrer
Isso dá relações de proporcionalidade
sempre que
não sejam zero de forma inadequada (trata-se caso a caso).
Alternativa com produto vetorial:
Dois vetores são paralelos se, e somente se, o produto vetorial entre eles é o vetor nulo:
Dois vetores são paralelos se, e somente se, o produto vetorial entre eles é o vetor nulo:
Isso gera três equações escalares que também podem ser usadas para determinar incógnitas.
Passo 3
Aplicando o critério ao nosso caso:
Temos . Se o plano
tiver vetor normal
, então para que
devemos ter
Temos
para algum
. Ou seja,
A partir das duas últimas igualdades obtemos
(se
) e
(se
); para existir solução essas razões têm de ser iguais:
Se isso ocorrer, então
com
dado por uma dessas expressões.
Observação importante: sem conhecer
(ou a equação explícita do plano
), não há como calcular numericamente
nem, portanto,
.
Passo 4
Exemplo concreto (para ver o procedimento na prática):
Suponha que o plano tenha vetor normal
(isto corresponde, por exemplo, à equação do plano
para algum
). Então, impondo
Suponha que o plano
vemos pelas componentes que
e também
consistente. Logo
Portanto, se
, o valor requerido é
.
Esse exemplo mostra o passo a passo: 1) identificar
, 2) igualar componentes por um escalar
, 3) resolver para
e então para
.
Passo 5
Conclusão para o enunciado dado:
No enunciado que você me deu a reta está completamente definida, mas o plano não tem nenhuma informação (nem sua equação, nem seu vetor normal). Pelo critério explicado, para achar
é necessário conhecer o vetor normal
de
. Sem isso não há condição numérica que determine
.
No enunciado que você me deu a reta está completamente definida, mas o plano
Se o seu professor deu a
em algum outro lugar do material (uma equação, um gráfico com normal indicado, ou dois vetores geradores do plano), aplique o procedimento do Passo 3 usando aquele
; eu posso fazer isso para você se você me passar a equação do plano ou o vetor normal.
Resposta
Não é possível determinar o valor de
porque a equação do plano
(ou o seu vetor normal
) não foi fornecida.