Determine as equações paramétricas da reta de interseção dos planos \pi_{1}: 2 x+y- z-1=0 e \pi_{2}: x-y+2 z+2=0.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede a reta de interseção entre eles. As informações são:
\pi_{1}: 2x+y-z-1=0
\pi_{2}: x-y+2z+2=0
O que precisamos devolver são as equações paramétricas da reta que é a interseção desses dois planos (ou seja, uma forma x(t),\,y(t),\,z(t) que descreve todos os pontos comuns a \pi_{1} e \pi_{2}).
Passo 2
Ideia geral do método (não precisa decorar, só entender): a reta de interseção de dois planos pode ser descrita por
um vetor diretor \mathbf{v} que é paralelo à reta, e
um ponto P_0 qualquer que pertença à reta.
O vetor diretor pode ser obtido como o produto vetorial dos vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 dos planos, porque a direção da reta é perpendicular a ambos os normais. Em seguida encontramos um ponto comum resolvendo o sistema linear dado pelas equações dos planos. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro extraímos os vetores normais dos planos (coeficientes de x,y,z):
\mathbf{n}_1=(2,1,-1)
\mathbf{n}_2=(1,-1,2)
Esses vetores são perpendiculares aos respectivos planos.
Passo 4
Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Vou usar a expansão por determinante (cada componente é o determinante da submatriz correspondente):
Podemos usar qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v} como vetor diretor da reta. Para ficar com números mais simpáticos escolho o vetor oposto
\mathbf{d}=(-1,5,3),
pois \mathbf{d}=-\mathbf{v} e define a mesma reta. Esse será o vetor diretor da reta de interseção.
Passo 6
Agora precisamos de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0)\) que satisfaça as duas equações. Para encontrar um ponto, resolvemos o sistema
\[\begin{cases} 2x+y-z=1,\\[4pt] x-y+2z=-2. \end{cases}
Uma maneira prática é escolher uma variável como parâmetro e resolver as outras em função dela. Vou escolher z\] como parâmetro e chamar \(z=t. Substituindo na segunda equação isolamos x em termos de y e t: