11. Interseção de Dois Planos:

Determine as equações paramétricas da reta de interseção dos planos \pi_{1}: 2 x+y- z-1=0 e \pi_{2}: x-y+2 z+2=0.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede a reta de interseção entre eles. As informações são:
\pi_{1}: 2x+y-z-1=0
\pi_{2}: x-y+2z+2=0
O que precisamos devolver são as equações paramétricas da reta que é a interseção desses dois planos (ou seja, uma forma x(t),\,y(t),\,z(t) que descreve todos os pontos comuns a \pi_{1} e \pi_{2}).

Passo 2

Ideia geral do método (não precisa decorar, só entender): a reta de interseção de dois planos pode ser descrita por
  • um vetor diretor \mathbf{v} que é paralelo à reta, e
  • um ponto P_0 qualquer que pertença à reta.
    O vetor diretor pode ser obtido como o produto vetorial dos vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 dos planos, porque a direção da reta é perpendicular a ambos os normais. Em seguida encontramos um ponto comum resolvendo o sistema linear dado pelas equações dos planos. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro extraímos os vetores normais dos planos (coeficientes de x,y,z):
\mathbf{n}_1=(2,1,-1)
\mathbf{n}_2=(1,-1,2)
Esses vetores são perpendiculares aos respectivos planos.

Passo 4

Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Vou usar a expansão por determinante (cada componente é o determinante da submatriz correspondente):
\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}
Calculando componente a componente:
  • componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
1\cdot 2 - (-1)\cdot(-1) = 2 - 1 = 1
  • componente y (com sinal negativo por definição da expansão):
-(2\cdot 2 - (-1)\cdot 1) = -(4 - (-1)) = -(4+1) = -5
  • componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
2\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -2 -1 = -3
Portanto
\mathbf{v}=(1,-5,-3).

Passo 5

Podemos usar qualquer múltiplo não-nulo de \mathbf{v} como vetor diretor da reta. Para ficar com números mais simpáticos escolho o vetor oposto
\mathbf{d}=(-1,5,3),
pois \mathbf{d}=-\mathbf{v} e define a mesma reta. Esse será o vetor diretor da reta de interseção.

Passo 6

Agora precisamos de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0)\) que satisfaça as duas equações. Para encontrar um ponto, resolvemos o sistema \[\begin{cases} 2x+y-z=1,\\[4pt] x-y+2z=-2. \end{cases}
Uma maneira prática é escolher uma variável como parâmetro e resolver as outras em função dela. Vou escolher z\] como parâmetro e chamar \(z=t. Substituindo na segunda equação isolamos x em termos de y e t:
x = y - 2t - 2.
Substituindo isso na primeira equação:
2(y-2t-2)+y-t=1.
Agora desenvolvo e simplifico passo a passo:
2y -4t -4 + y - t = 1
3y -5t -4 = 1
3y -5t = 5
y = \frac{5+5t}{3} = \frac{5(1+t)}{3}.
Com y em mãos, volto para x:
x = y - 2t -2 = \frac{5(1+t)}{3} -2t -2.
Coloco no mesmo denominador para simplificar:
x = \frac{5(1+t) -6t -6}{3} = \frac{5+5t-6t-6}{3} = \frac{-1-t}{3} = -\frac{1+t}{3}.]

Passo 7

Temos então, com z=t:
x = -\frac{1+t}{3},\qquad y = \frac{5(1+t)}{3},\qquad z=t.
Para evitar frações e deixar a forma paramétrica mais simples, faço uma troca de parâmetro. Defina
u=\frac{1+t}{3}.
Então 1+t=3u e t=3u-1. Substituindo:
x = -u,\qquad y = 5u,\qquad z = 3u-1.
Renomeando o parâmetro u para t (é só um símbolo), obtenho a forma final
x=-t,\qquad y=5t,\qquad z=3t-1,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar tranquilo): substituindo x=-t,\\ y=5t,\\ z=3t-1 em \pi_{1} e \pi_{2} temos
\pi_{1}: 2(-t)+5t-(3t-1)-1 = -2t+5t-3t+1-1=0,
\pi_{2}: (-t)-5t+2(3t-1)+2 = -6t+6t-2+2=0.
Ambas igualam zero, logo essa parametrização realmente descreve a reta de interseção.

Resposta

x=-t
y=5t
z=3t-1,\; t\in\mathbb{R}

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