12. Plano Paralelo a Outro Plano:
Encontre a equação do plano que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado pede: encontre a equação do plano que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.
Informações dadas:
- Um ponto pelo qual o plano procurado passa:
. - Um plano ao qual o plano procurado é paralelo:
.
O que devemos encontrar: a equação cartesiana do plano que contém
e é paralelo a
.
Passo 2
Conceito-chave (aula rápida e prática): equação geral de um plano em
.
A equação geral de um plano é
onde
é o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja dentro do plano. Então, se dois planos são paralelos, seus vetores normais têm a mesma direção — isto é, são proporcinais. Na prática de prova, quando o enunciado diz "plano paralelo a
", podemos simplesmente usar o mesmo triplet de coeficientes
(ou um múltiplo) na equação do novo plano.
Explicação das letras:
-
são os coeficientes que definem a direção do normal. -
é o termo constante que desloca o plano ao longo da direção do normal. - Para achar
usamos um ponto que esteja no plano: basta substituir as coordenadas do ponto na equação e resolver para .
Passo 3
Vamos extrair o vetor normal do plano dado
.
Da equação de
,
os coeficientes de
são
. Portanto o vetor normal de
é
Como o plano procurado é paralelo a
, seu vetor normal deve ser proporcional a
. Para simplificar, usamos diretamente o mesmo vetor normal. Assim a equação geral do plano procurado tem a forma
onde
é o número desconhecido que vamos determinar usando o ponto
.
Passo 4
Agora usamos o ponto
para determinar
.
Substituímos
,
,
em
Fazendo a conta passo a passo:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto
Isolando
:
Passo 5
Com
temos a equação do plano procurado:
Verificação rápida (pra garantir que não errei): substituo
na equação final:
Funcionou: o ponto está no plano. E o vetor normal do plano final é
, igual ao de
, então os planos são paralelos.
Passo 6
Resumo final e incentivo: aplicamos a ideia de que planos paralelos têm o mesmo vetor normal; escrevemos a equação geral com esse normal e ajustamos o termo constante usando o ponto dado. Fácil de repetir na prova: identifique o normal, escreva
com esse normal, e determine
substituindo o ponto.