12. Plano Paralelo a Outro Plano:

Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P(3,1,-2) e é paralelo ao plano \pi: 2 x-5 y+z-7=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontre a equação do plano que passa pelo ponto P(3,1,-2) e é paralelo ao plano \pi: 2x-5y+z-7=0.
Informações dadas:
  • Um ponto pelo qual o plano procurado passa: P(3,1,-2).
  • Um plano ao qual o plano procurado é paralelo: \pi: 2x-5y+z-7=0.
O que devemos encontrar: a equação cartesiana do plano que contém P e é paralelo a \pi.

Passo 2

Conceito-chave (aula rápida e prática): equação geral de um plano em \mathbb{R}^3.
A equação geral de um plano é
ax+by+cz+d=0,
onde \,(a,b,c)\, é o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a todo vetor que esteja dentro do plano. Então, se dois planos são paralelos, seus vetores normais têm a mesma direção — isto é, são proporcinais. Na prática de prova, quando o enunciado diz "plano paralelo a \pi", podemos simplesmente usar o mesmo triplet de coeficientes a,b,c (ou um múltiplo) na equação do novo plano.
Explicação das letras:
  • a,b,c são os coeficientes que definem a direção do normal.
  • d é o termo constante que desloca o plano ao longo da direção do normal.
  • Para achar d usamos um ponto que esteja no plano: basta substituir as coordenadas do ponto na equação e resolver para d.

Passo 3

Vamos extrair o vetor normal do plano dado \pi.
Da equação de \pi,
2x-5y+z-7=0,
os coeficientes de x,y,z são 2,-5,1. Portanto o vetor normal de \pi é
\mathbf{n}=(2,-5,1).
Como o plano procurado é paralelo a \pi, seu vetor normal deve ser proporcional a \mathbf{n}. Para simplificar, usamos diretamente o mesmo vetor normal. Assim a equação geral do plano procurado tem a forma
2x-5y+z+D=0,
onde D é o número desconhecido que vamos determinar usando o ponto P.

Passo 4

Agora usamos o ponto P(3,1,-2) para determinar D.
Substituímos x=3, y=1, z=-2 em
2x-5y+z+D=0.
Fazendo a conta passo a passo:
2\cdot 3 - 5\cdot 1 + (-2) + D = 0.
Calcule cada termo:
2\cdot 3 = 6,\qquad -5\cdot 1 = -5,\qquad +(-2) = -2.
Somando:
6 -5 -2 + D = (6-5)-2 + D = 1 -2 + D = -1 + D.
Portanto
-1 + D = 0.
Isolando D:
D = 1.

Passo 5

Com D=1 temos a equação do plano procurado:
2x-5y+z+1=0.
Verificação rápida (pra garantir que não errei): substituo P(3,1,-2) na equação final:
2\cdot 3 -5\cdot 1 + (-2) + 1 = 6 -5 -2 +1 = 0.
Funcionou: o ponto está no plano. E o vetor normal do plano final é (2,-5,1), igual ao de \pi, então os planos são paralelos.

Passo 6

Resumo final e incentivo: aplicamos a ideia de que planos paralelos têm o mesmo vetor normal; escrevemos a equação geral com esse normal e ajustamos o termo constante usando o ponto dado. Fácil de repetir na prova: identifique o normal, escreva ax+by+cz+d=0 com esse normal, e determine d substituindo o ponto.

Resposta

2x-5y+z+1=0

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