Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
A reta que passa pelo ponto P_{0}=(1,2) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da reta que passa pelo ponto P_{0}=(1,2) e é paralela ao vetor \vec{v}=(-1,2).
Informações dadas:
  • ponto inicial: P_{0}=(1,2);
  • vetor diretor (paralelo à reta): \vec{v}=(-1,2).
    O que se pede: uma (ou mais) parametrizações que descrevam todos os pontos dessa reta.

Passo 2

O que é uma parametrização de uma reta e por que funciona.
Uma parametrização atribui a cada valor do parâmetro t\in\mathbb{R} um ponto da reta. Para uma reta no plano, a forma padrão usa um ponto conhecido da reta e um vetor diretor: se o ponto é P_{0} e o vetor diretor é \vec{v}, então a parametrização vetorial é
\mathbf{r}(t)=P_{0}+t\,\vec{v},\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando: t é um número real que escala o vetor \vec{v}. Ao somar P_{0} com t\vec{v} obtemos todos os pontos que ficam ao longo da reta que passa por P_{0} na direção de \vec{v}. Para cada t diferente pode cair o mesmo ponto só se o vetor diretor for multiplicado por zero; em geral, varrendo t\in\mathbb{R} percorre-se toda a reta.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: tomar P_{0}=(1,2) e \vec{v}=(-1,2). Substituindo na forma padrão obtemos a expressão vetorial da parametrização:
\mathbf{r}(t)=(1,2)+t(-1,2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Agora escrevendo em coordenadas (componentes) para ficar bem explícito:
x(t)=1-t,\qquad y(t)=2+2t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificações simples (para entender e ter confiança).
  • Para t=0 obtemos x(0)=1 e y(0)=2, ou seja, \mathbf{r}(0)=P_{0} — bom, a parametrização passa por P_{0}.
  • A derivada em t (vetor velocidade) é \mathbf{r}'(t)=(-1,2), que é exatamente o vetor diretor \vec{v}. Isso mostra que a reta tem direção \vec{v}, logo é paralela a \vec{v}.

Passo 5

Outras formas equivalentes de parametrizar (útil na prova).
  • Multiplicando o vetor diretor por qualquer constante não nula a dá a mesma reta: \mathbf{r}(s)=(1,2)+s(-2,4) (aqui s percorre \mathbb{R}). É só uma reparametrização.
  • Pode querer velocidade unitária: calcule o vetor unitário \displaystyle \hat{u}=\frac{(-1,2)}{\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}}=\frac{(-1,2)}{\sqrt{5}} e usar \mathbf{r}(t)=(1,2)+t\,\hat{u}. Isso dá uma parametrização com \|\mathbf{r}'(t)\|=1.
    Essas variações são todas válidas; o importante é que o ponto inicial seja P_{0} (ou outro ponto da reta) e o vetor diretor seja paralelo a \vec{v}.

Passo 6

Exemplo rápido de uso na prova (pra ficar prático e sem dor): encontrar o ponto da reta com x=-1. Usar x(t)=1-t. Resolver 1-t=-1 t=2. Então y(2)=2+2\cdot2=6. O ponto é (-1,6). Isto mostra como usar a parametrização para achar pontos específicos.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(1,2)+t(-1,2),\quad t\in\mathbb{R}
\displaystyle x(t)=1-t,\quad y(t)=2+2t,\quad t\in\mathbb{R}

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