Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
A reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
A reta que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da reta que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- ponto inicial:
; - vetor diretor (paralelo à reta):
.
O que se pede: uma (ou mais) parametrizações que descrevam todos os pontos dessa reta.
Passo 2
O que é uma parametrização de uma reta e por que funciona.
Uma parametrização atribui a cada valor do parâmetro um ponto da reta. Para uma reta no plano, a forma padrão usa um ponto conhecido da reta e um vetor diretor: se o ponto é
e o vetor diretor é
, então a parametrização vetorial é
Uma parametrização atribui a cada valor do parâmetro
Explicando:
é um número real que escala o vetor
. Ao somar
com
obtemos todos os pontos que ficam ao longo da reta que passa por
na direção de
. Para cada
diferente pode cair o mesmo ponto só se o vetor diretor for multiplicado por zero; em geral, varrendo
percorre-se toda a reta.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: tomar
e
. Substituindo na forma padrão obtemos a expressão vetorial da parametrização:
Agora escrevendo em coordenadas (componentes) para ficar bem explícito:
Passo 4
Verificações simples (para entender e ter confiança).
- Para
obtemos e , ou seja, — bom, a parametrização passa por . - A derivada em
(vetor velocidade) é , que é exatamente o vetor diretor . Isso mostra que a reta tem direção , logo é paralela a .
Passo 5
Outras formas equivalentes de parametrizar (útil na prova).
- Multiplicando o vetor diretor por qualquer constante não nula
dá a mesma reta: (aqui percorre ). É só uma reparametrização. - Pode querer velocidade unitária: calcule o vetor unitário
e usar . Isso dá uma parametrização com .
Essas variações são todas válidas; o importante é que o ponto inicial seja(ou outro ponto da reta) e o vetor diretor seja paralelo a .
Passo 6
Exemplo rápido de uso na prova (pra ficar prático e sem dor): encontrar o ponto da reta com
. Usar
. Resolver
dá
. Então
. O ponto é
. Isto mostra como usar a parametrização para achar pontos específicos.