Você pode usar o Teorema de Stokes e o fato de que
para concluir que
, onde
é a curva fechada definida por
? Justifique a resposta.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se dá para usar o Teorema de Stokes e o fato de que o rotacional de um campo vetorial
é zero para concluir que a integral de linha
também é zero. A curva
está definida por
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e o que significa o rotacional de um campo vetorial ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência do campo vetorial
de “girar” ao redor de um ponto. Se o rotacional for zero em toda parte, isso significa que o campo é irrotacional, ou seja, não tem essa tendência de giro.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
cuja borda é
. Em fórmula, fica assim:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
No nosso caso, sabemos que
. Ou seja, o rotacional do campo é zero em toda parte. Aplicando isso no Teorema de Stokes, temos:
Passo 5
Além disso, é importante notar que a curva
é fechada e está localizada no plano
, formando um círculo de raio 1 no plano
. Como o rotacional do campo é zero, não há “giro” no campo ao redor dessa curva, o que reforça que a integral de linha será zero.
Resposta
Sim, podemos concluir que
usando o Teorema de Stokes e o fato de que o rotacional de
é zero.