Você pode usar o Teorema de Stokes e o fato de que nabla times F=0 para concluir que ointC2 F cdot d r=0, onde C2 é a curva fechada definida por x^2+z^2=1, y=0 ? Justifique a resposta.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se dá para usar o Teorema de Stokes e o fato de que o rotacional de um campo vetorial F é zero para concluir que a integral de linha ointC2 F cdot d r também é zero. A curva C2 está definida por x^2+z^2=1 e y=0. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes e o que significa o rotacional de um campo vetorial ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F, mede a tendência do campo vetorial F de “girar” ao redor de um ponto. Se o rotacional for zero em toda parte, isso significa que o campo é irrotacional, ou seja, não tem essa tendência de giro.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S cuja borda é C. Em fórmula, fica assim:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

No nosso caso, sabemos que nabla times F = 0. Ou seja, o rotacional do campo é zero em toda parte. Aplicando isso no Teorema de Stokes, temos:
ointC2 F cdot dr = integral duplaS 0 cdot n , dS = 0

Passo 5

Além disso, é importante notar que a curva C2 é fechada e está localizada no plano y=0, formando um círculo de raio 1 no plano xz. Como o rotacional do campo é zero, não há “giro” no campo ao redor dessa curva, o que reforça que a integral de linha será zero.

Resposta

Sim, podemos concluir que ointC2 F cdot d r=0 usando o Teorema de Stokes e o fato de que o rotacional de F é zero.

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