Parametrize o círculo
, que passa pelos pontos no plano
e
, e tem centro na reta
Passo 1
O que o problema pede: parametrizar o círculo
que (1) passa pelos pontos
e
e (2) tem o centro sobre a reta
.
Informações fornecidas:
Não temos ainda o centro nem o raio; esses serão determinados a partir das condições acima.
Passo 2
Escolha de variáveis e ideia geral (sem resolver ainda): como o centro está sobre a reta
, podemos escrever o centro como
, onde
é um número real desconhecido. O raio do círculo será um número positivo
. A condição “o círculo passa por um ponto” significa que a distância do centro até esse ponto é igual a
.
Vou usar a fórmula da distância no plano: para dois pontos
e
, a distância entre eles é
É conveniente trabalhar com o quadrado da distância para evitar raízes: a igualdade de distâncias vira igualdade de quadrados das distâncias.
Passo 3
Aplicando a ideia aos dois pontos dados: a distância do centro
até
deve ser
, então
De modo semelhante, a distância até
dá
Como ambos valem
, podemos igualar as duas expressões para eliminar
:
Passo 4
Simplificação da equação para encontrar
: na igualdade acima podemos cancelar o termo comum
que aparece nos dois lados, sobrando
Quando dois quadrados são iguais, as quantidades podem ser opostas ou iguais; isto é,
Resolver cada caso:
- Primeiro caso:
implica , impossível, então descartamos. - Segundo caso:
. Somando aos dois lados e subtraindo ,
Portanto o centro é
.
Passo 5
Calcular o raio
: usar a expressão do Passo 3 com
. Por exemplo, com
,
Assim
. (Tomamos
.)
Passo 6
Fórmula de parametrização de um círculo e por que funciona: o círculo de centro
e raio
pode ser obtido a partir do círculo unitário
aplicando escala por
e translação por
. Logo uma parametrização padrão é
Aqui
é o ângulo polar no círculo unitário;
e
variam entre
e
, então multiplicando por
e somando o centro obtemos todos os pontos do círculo.
Passo 7
Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos centro
e raio
. Assim uma parametrização para
é
Se preferir em forma de vetor,
Essa parametrização efetivamente passa por
e
; por exemplo, para
o vetor relativo ao centro é
que corresponde a
para algum
.