Parametrize o círculo C_{1}, que passa pelos pontos no plano (5,4) e (-2,5), e tem centro na reta x=y

Passo 1

O que o problema pede: parametrizar o círculo C_{1} que (1) passa pelos pontos (5,4) e (-2,5) e (2) tem o centro sobre a reta x=y.
Informações fornecidas:
\text{ponto }P_1=(5,4),\qquad \text{ponto }P_2=(-2,5),\qquad \text{centro em }x=y.
Não temos ainda o centro nem o raio; esses serão determinados a partir das condições acima.

Passo 2

Escolha de variáveis e ideia geral (sem resolver ainda): como o centro está sobre a reta x=y, podemos escrever o centro como (h,h), onde h é um número real desconhecido. O raio do círculo será um número positivo r. A condição “o círculo passa por um ponto” significa que a distância do centro até esse ponto é igual a r.
Vou usar a fórmula da distância no plano: para dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), a distância entre eles é
\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
É conveniente trabalhar com o quadrado da distância para evitar raízes: a igualdade de distâncias vira igualdade de quadrados das distâncias.

Passo 3

Aplicando a ideia aos dois pontos dados: a distância do centro (h,h) até P_1=(5,4) deve ser r, então
(5-h)^2+(4-h)^2 = r^2.
De modo semelhante, a distância até P_2=(-2,5)
(-2-h)^2+(5-h)^2 = r^2.
Como ambos valem r^2, podemos igualar as duas expressões para eliminar r^2:
(5-h)^2+(4-h)^2 = (-2-h)^2+(5-h)^2.

Passo 4

Simplificação da equação para encontrar h: na igualdade acima podemos cancelar o termo comum (5-h)^2 que aparece nos dois lados, sobrando
(4-h)^2 = (-2-h)^2.
Quando dois quadrados são iguais, as quantidades podem ser opostas ou iguais; isto é,
4-h = -2-h \quad\text{ou}\quad 4-h = -(-2-h)=2+h.
Resolver cada caso:
  • Primeiro caso: 4-h = -2-h implica 4=-2, impossível, então descartamos.
  • Segundo caso: 4-h = 2+h. Somando h aos dois lados e subtraindo 2,
4-2 = h+h \implies 2 = 2h \implies h=1.
Portanto o centro é (1,1).

Passo 5

Calcular o raio r: usar a expressão do Passo 3 com h=1. Por exemplo, com P_1=(5,4),
r^2 = (5-1)^2+(4-1)^2 = 4^2+3^2 = 16+9 = 25.
Assim r=\sqrt{25}=5. (Tomamos r>0.)

Passo 6

Fórmula de parametrização de um círculo e por que funciona: o círculo de centro (a,b) e raio R pode ser obtido a partir do círculo unitário (\cos t,\sin t) aplicando escala por R e translação por (a,b). Logo uma parametrização padrão é
(x(t),y(t))=(a+R\cos t,\; b+R\sin t),\qquad t\in[0,2\pi).
Aqui t é o ângulo polar no círculo unitário; \cos t e \sin t variam entre -1 e 1, então multiplicando por R e somando o centro obtemos todos os pontos do círculo.

Passo 7

Aplicando a fórmula ao nosso caso: temos centro (a,b)=(1,1) e raio R=5. Assim uma parametrização para C_{1} é
(x(t),y(t)) = (1+5\cos t,\; 1+5\sin t),\qquad 0\le t<2\pi.
Se preferir em forma de vetor,
\mathbf{r}(t) = \bigl(1+5\cos t,\;1+5\sin t\bigr),\qquad 0\le t<2\pi.
Essa parametrização efetivamente passa por (5,4) e (-2,5); por exemplo, para (5,4) o vetor relativo ao centro é (4,3)=5(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}) que corresponde a \cos t=\tfrac{4}{5},\\ \sin t=\tfrac{3}{5} para algum t.

Resposta

\mathbf{r}(t) = \bigl(1+5\cos t,\;1+5\sin t\bigr),\quad 0\le t<2\pi

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