( 1,5 ) Resolva a equação diferencial (y+y \cos (x y)) \mathrm{d} x+(x+x \cos (x y)) \mathrm{d} y= 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y+y\cos(xy))\,\mathrm{d}x+(x+x\cos(xy))\,\mathrm{d}y=0
e pede que a resolvamos — isto é, que encontremos a solução geral (implícita) y(x) ou uma relação implícita entre x e y que satisfaça a equação. As informações relevantes do enunciado são os coeficientes dos diferenciais: y+y\cos(xy) multiplicando \mathrm{d}x e x+x\cos(xy) multiplicando \mathrm{d}y.

Passo 2

Observe que há fator comum em ambos os termos: escrevemos os coeficientes destacando esse fator comum. Fatoremos 1+\cos(xy):
(y+y\cos(xy))\,\mathrm{d}x+(x+x\cos(xy))\,\mathrm{d}y =(1+\cos(xy))(y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y).
Esta é uma manipulação algébrica simples: y+y\cos(xy)=y(1+\cos(xy)) e x+x\cos(xy)=x(1+\cos(xy)).

Passo 3

A equação original fica então
(1+\cos(xy))(y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y)=0.
Quando um produto de duas expressões é zero, para que a igualdade valha é suficiente que pelo menos uma das expressões seja zero. Assim, as soluções da equação vêm da união das soluções de
1+\cos(xy)=0
e das soluções de
y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y=0.
Vou tratar cada caso separadamente — isso é importante porque, em manipulações com fatores, dividir por um fator que pode ser zero pode fazer perder soluções.

Passo 4

Primeiro caso: y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y=0.
Aqui usamos o fato de que a diferencial do produto xy é dada pela regra do produto:
\mathrm{d}(xy)=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y.
Explicando melhor: se u(x,y)=x e v(x,y)=y, então \mathrm{d}(uv)=u\,\mathrm{d}v+v\,\mathrm{d}u; aplicando com u=x e v=y obtemos a expressão acima. Portanto a equação torna-se
\mathrm{d}(xy)=0.
Integrando ambos os lados (ou reconhecendo que diferencial zero implica quantidade constante), obtemos
xy=C,
onde C é constante real. Esse é um conjunto de soluções implícitas: qualquer curva do tipo xy=C satisfaz a equação original sempre que o outro fator 1+\cos(xy) não anule a expressão (mas mais adiante veremos que mesmo assim estão incluídas).

Passo 5

Segundo caso: 1+\cos(xy)=0.
Isto significa
\cos(xy)=-1.
Sabemos que \cos t=-1 ocorre quando t=(2k+1)\pi, com k\in\mathbb{Z}. Logo
xy=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Essas relações implicam que xy é constante igual a um múltiplo ímpar de \pi. Note que são soluções porque, se xy é exatamente um desses valores, então 1+\cos(xy)=0 e o produto é zero independentemente do valor de y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y.

Passo 6

Unindo os casos e discutindo sobre perda de soluções: do passo 4 temos a família xy=C com C\in\mathbb{R}. Do passo 5 temos a família discreta xy=(2k+1)\pi, que é uma subfamília da família geral xy=C (basta escolher C=(2k+1)\pi). Por isso a solução geral já está coberta por
xy=C,\qquad C\in\mathbb{R}.
Importante: não é correto simplesmente dividir a equação inicial por 1+\cos(xy) sem pensar, porque quando 1+\cos(xy)=0 tal divisão seria inválida e poderíamos perder as soluções com xy=(2k+1)\pi. A forma xy=C inclui essas soluções especiais, então é correta e completa como solução geral implícita.

Resposta

\;xy=C,\quad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados