( 1,5 ) Resolva a equação diferencial
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos — isto é, que encontremos a solução geral (implícita)
ou uma relação implícita entre
e
que satisfaça a equação. As informações relevantes do enunciado são os coeficientes dos diferenciais:
multiplicando
e
multiplicando
.
Passo 2
Observe que há fator comum em ambos os termos: escrevemos os coeficientes destacando esse fator comum. Fatoremos
:
Esta é uma manipulação algébrica simples:
e
.
Passo 3
A equação original fica então
Quando um produto de duas expressões é zero, para que a igualdade valha é suficiente que pelo menos uma das expressões seja zero. Assim, as soluções da equação vêm da união das soluções de
e das soluções de
Vou tratar cada caso separadamente — isso é importante porque, em manipulações com fatores, dividir por um fator que pode ser zero pode fazer perder soluções.
Passo 4
Primeiro caso:
.
Aqui usamos o fato de que a diferencial do produto
é dada pela regra do produto:
Explicando melhor: se
e
, então
; aplicando com
e
obtemos a expressão acima. Portanto a equação torna-se
Integrando ambos os lados (ou reconhecendo que diferencial zero implica quantidade constante), obtemos
onde
é constante real. Esse é um conjunto de soluções implícitas: qualquer curva do tipo
satisfaz a equação original sempre que o outro fator
não anule a expressão (mas mais adiante veremos que mesmo assim estão incluídas).
Passo 5
Segundo caso:
.
Isto significa
Sabemos que
ocorre quando
, com
. Logo
Essas relações implicam que
é constante igual a um múltiplo ímpar de
. Note que são soluções porque, se
é exatamente um desses valores, então
e o produto é zero independentemente do valor de
.
Passo 6
Unindo os casos e discutindo sobre perda de soluções: do passo 4 temos a família
com
. Do passo 5 temos a família discreta
, que é uma subfamília da família geral
(basta escolher
). Por isso a solução geral já está coberta por
Importante: não é correto simplesmente dividir a equação inicial por
sem pensar, porque quando
tal divisão seria inválida e poderíamos perder as soluções com
. A forma
inclui essas soluções especiais, então é correta e completa como solução geral implícita.