Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condiçīo inicial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+c n x}{y+1}, y(0)=(1).
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+c n x}{y+1}, y(0)=(1).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
Informações relevantes:
- A incógnita é
função de . -
e aparecem como constantes (vou tratá‑las como constantes dadas). - A equação define a taxa de variação
em função de e . - A tarefa é encontrar a solução
que satisfaça a equação e a condição inicial .
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do lado direito: note que na numerador podemos fatorar
:
Portanto a equação fica
Passo 3
Esta é uma equação separável: podemos reescrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Fazer isso é útil porque permite integrar cada lado em sua variável:
Aqui a ideia é exatamente escrever algo na forma
para integrar ambos os lados.
Passo 4
Vamos preparar a integral do lado esquerdo. Observa que
Esse truque (somar e subtrair
) transforma a fração numa soma simples mais uma fração do tipo
, que é fácil de integrar.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados:
Calculemos as integrais separadamente:
No lado direito,
Portanto, após a integração obtemos a constante de integração
:
Passo 6
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão integrada:
Logo
Passo 7
Substituindo
na solução implícita, obtemos a solução do problema (implícita):
Podemos rearranjar para uma forma um pouco mais compacta:
Essa equação dá
em função de
de forma implícita; em geral não é possível resolver para
em forma fechada elementar devido ao termo logarítmico.
Passo 8
Pequena verificação (opcional mas didática): se derivarmos implicitamente a relação encontrada em relação a
e resolvermos para
, recuperamos a equação original
, confirmando consistência. Também é importante observar o domínio: os logaritmos exigem
e
(ou tratar sinal pelo valor absoluto), e a condição inicial exige
para que
esteja bem definida.