Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condiçīo inicial dada.
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+c n x}{y+1}, y(0)=(1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{dy}{dx}=\frac{x y + c n x}{y+1},\qquad y(0)=1.
Informações relevantes:
  • A incógnita é y função de x.
  • c e n aparecem como constantes (vou tratá‑las como constantes dadas).
  • A equação define a taxa de variação dy/dx em função de x e y.
  • A tarefa é encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial y(0)=1.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do lado direito: note que na numerador podemos fatorar x:
x y + c n x = x\,(y + c n).
Portanto a equação fica
\frac{dy}{dx} = x\;\frac{y + c n}{y+1}.

Passo 3

Esta é uma equação separável: podemos reescrever os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Fazer isso é útil porque permite integrar cada lado em sua variável:
\frac{y+1}{y + c n}\,dy = x\,dx.
Aqui a ideia é exatamente escrever algo na forma f(y)\,dy = g(x)\,dx para integrar ambos os lados.

Passo 4

Vamos preparar a integral do lado esquerdo. Observa que
\frac{y+1}{y + c n} = \frac{(y+ c n) + (1 - c n)}{y + c n} = 1 + \frac{1 - c n}{y + c n}.
Esse truque (somar e subtrair c n) transforma a fração numa soma simples mais uma fração do tipo 1/(y+cn), que é fácil de integrar.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados:
\int \left(1 + \frac{1 - c n}{y + c n}\right) dy = \int x\,dx.
Calculemos as integrais separadamente:
\int 1\,dy = y, \qquad \int \frac{1 - c n}{y + c n}\,dy = (1 - c n)\ln|y + c n|.
No lado direito,
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Portanto, após a integração obtemos a constante de integração C:
y + (1 - c n)\ln|y + c n| = \frac{x^2}{2} + C.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 na expressão integrada:
1 + (1 - c n)\ln|1 + c n| = \frac{0^2}{2} + C = C.
Logo
C = 1 + (1 - c n)\ln|1 + c n|.

Passo 7

Substituindo C na solução implícita, obtemos a solução do problema (implícita):
y + (1 - c n)\ln|y + c n| = \frac{x^2}{2} + 1 + (1 - c n)\ln|1 + c n|.
Podemos rearranjar para uma forma um pouco mais compacta:
y - 1 + (1 - c n)\ln\!\left(\frac{y + c n}{1 + c n}\right) = \frac{x^2}{2}.
Essa equação dá y em função de x de forma implícita; em geral não é possível resolver para y em forma fechada elementar devido ao termo logarítmico.

Passo 8

Pequena verificação (opcional mas didática): se derivarmos implicitamente a relação encontrada em relação a x e resolvermos para dy/dx, recuperamos a equação original \frac{dy}{dx}=\dfrac{x(y+cn)}{y+1}, confirmando consistência. Também é importante observar o domínio: os logaritmos exigem y+cn\neq0 e 1+cn\neq0 (ou tratar sinal pelo valor absoluto), e a condição inicial exige 1+cn\neq0 para que C esteja bem definida.

Resposta

y + (1 - c n)\ln|y + c n| = \frac{x^2}{2} + 1 + (1 - c n)\ln|1 + c n|
\text{ou, equivalente,}\qquad y - 1 + (1 - c n)\ln\!\left(\frac{y + c n}{1 + c n}\right) = \frac{x^2}{2}.

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