Parametrize a curva definida pela interseção das superficies
e
.
Passo 1
Neste exercício vamos parametrizar a curva que é a interseção da superfície
com a esfera
. O conteúdo é interseção de superfícies e uso de coordenadas paramétricas para curvas espaciais.
Passo 2
Como tanto
quanto
aparecem só em soma de quadrados, introduzimos coordenadas do tipo cilíndricas para essas duas variáveis:
$$
y = r\cos t, \quad z = r\sin t,
x = y^2 + z^2 = r^2. $$
Passo 3
Substituindo esses valores na equação da esfera, obtemos
$$
x^2 + y^2 + z^2 = (r2)2 + r^2 = r^4 + r^2 = 2.
u^2 + u - 2 = 0. $$
Passo 4
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara, encontramos
$$
u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}, $$
isto é, ou
. Como
, a única solução física é
, logo
.
isto é,
Passo 5
Para
temos
$$
y = \cos t, \quad z = \sin t, \quad x = r^2 = 1.
\mathbf{r}(t) = (1,,\cos t,,\sin t), \quad 0 \le t < 2\pi. $$