Parametrize a curva definida pela interseção das superficies x=y^2+z^2 e x^2+y^2+z^2=2.

Passo 1

Neste exercício vamos parametrizar a curva que é a interseção da superfície x = y^2 + z^2 com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2. O conteúdo é interseção de superfícies e uso de coordenadas paramétricas para curvas espaciais.

Passo 2

Como tanto y quanto z aparecem só em soma de quadrados, introduzimos coordenadas do tipo cilíndricas para essas duas variáveis:
$$
y = r\cos t, \quad z = r\sin t, y = rcos t, z = rsin t, ãí
x = y^2 + z^2 = r^2. $$

Passo 3

Substituindo esses valores na equação da esfera, obtemos
$$
x^2 + y^2 + z^2 = (r2)2 + r^2 = r^4 + r^2 = 2. x^2 + y^2 + z^2 = (r^2)^2 + r^2 = r^4 + r^2 = 2
u^2 + u - 2 = 0. $$

Passo 4

Resolvendo u^2 + u - 2 = 0 pela fórmula de Bhaskara, encontramos
$$
u = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}, $$
isto é, u = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32, ou u = 1. Como u = -2, a única solução física é u = r^2 >= 0, logo u = 1.

Passo 5

Para r = 1 temos
$$
y = \cos t, \quad z = \sin t, \quad x = r^2 = 1. y = cos t, z = sin t, x = r^2 = 1 çãé
\mathbf{r}(t) = (1,,\cos t,,\sin t), \quad 0 \le t < 2\pi. $$

Resposta

r(t) = (1,,cos t,,sin t), 0 <= t < 2pi

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