Parametrize a curva descrita por
C=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2=1 ; z=x y ; x >= 0

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva em ,mathbb{R}^3 definida por x^2 + y^2 = 1, z = x y e com x ≥ 0. O conteúdo é parametrização de curvas usando coordenadas polares no plano xy e inserção em z.

Passo 2

Para descrever o círculo x^2 + y^2 = 1 no plano xy, usamos a parametrização em termos de um parâmetro t: x = cos(t), y = sin(t). Essa escolha satisfaz automaticamente x^2 + y^2 = 1.

Passo 3

Para impor x ≥ 0, observamos que cos(t) ≥ 0 quando t ∈ [–π/2, π/2]. Logo, escolhemos t nesse intervalo.

Passo 4

Finalmente, substituímos x = cos(t) e y = sin(t) na relação z = x y. Isso dá z = cos(t)·sin(t). Assim obtemos a parametrização completa.

Resposta

[\,
\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, \cos t \sin t), \quad t \in $$ -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}$$.
]

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