Parametrize a curva descrita por
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização da curva em ,mathbb{R}^3 definida por x^2 + y^2 = 1, z = x y e com x ≥ 0. O conteúdo é parametrização de curvas usando coordenadas polares no plano xy e inserção em z.
Passo 2
Para descrever o círculo x^2 + y^2 = 1 no plano xy, usamos a parametrização em termos de um parâmetro t: x = cos(t), y = sin(t). Essa escolha satisfaz automaticamente x^2 + y^2 = 1.
Passo 3
Para impor x ≥ 0, observamos que cos(t) ≥ 0 quando t ∈ [–π/2, π/2]. Logo, escolhemos t nesse intervalo.
Passo 4
Finalmente, substituímos x = cos(t) e y = sin(t) na relação z = x y. Isso dá z = cos(t)·sin(t). Assim obtemos a parametrização completa.
Resposta
[\,
\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, \cos t \sin t), \quad t \in $$ -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}$$.
]
]