Parametrize a parábola com vértice em (
), que passa pelos pontos (2,0,0), (-2,0,0)
Passo 1
O que o problema pede e o que ele dá:
- Pede: parametrizar uma parábola no espaço (função vetorial que descreve a parábola).
- Dados fornecidos:
- Vértex em
. - Passa pelos pontos
e .
- Vértex em
Observação imediata: todos os três pontos têm coordenada
. Isso significa que a parábola está contida no plano
. A partir daqui vamos trabalhar na projeção dela no plano
e depois levantar para o espaço.
Passo 2
Escolha de parâmetro e forma geral da curva no plano
.
- Como a parábola está no plano
, podemos escrever uma parametrização com a coordenada fixa em zero: - É natural usar
como a própria coordenada . Então tomamos - Para
esperamos uma função quadrática de , porque uma parábola em coordenadas cartesianas tem a forma de um polinômio de segundo grau. Assim tomamos a forma geral onde são constantes reais a determinar.
Passo 3
Usar a condição do vértice
para obter relações entre
.
- O vértice tem
e . Substituindo na expressão de obtemos Logo . - Além disso, o vértice é um extremo de
em relação a , portanto a derivada de em se anula em . A derivada é Em devemos ter .
Logo.
Até aqui temos
.
Passo 4
Usar os pontos dados para determinar
.
- A parábola passa por
. Como escolhemos e , isso corresponde a e . Substituindo em : - Resolvend o para
:
Passo 5
Escrever a parametrização final e verificar rapidamente.
- Substituindo
, , nas componentes: - Em forma vetorial:
- Verificações rápidas:
-
(vértex). -
. -
.
Todas batem certinho.
-