Parametrize a parábola com vértice em ( 0,0,4 ), que passa pelos pontos (2,0,0), (-2,0,0)

Passo 1

O que o problema pede e o que ele dá:
  • Pede: parametrizar uma parábola no espaço (função vetorial que descreve a parábola).
  • Dados fornecidos:
    • Vértex em (0,0,4).
    • Passa pelos pontos (2,0,0) e (-2,0,0).
Observação imediata: todos os três pontos têm coordenada y=0. Isso significa que a parábola está contida no plano y=0. A partir daqui vamos trabalhar na projeção dela no plano xz e depois levantar para o espaço.

Passo 2

Escolha de parâmetro e forma geral da curva no plano y=0.
  • Como a parábola está no plano y=0, podemos escrever uma parametrização com a coordenada y fixa em zero: y(t)=0.
  • É natural usar t como a própria coordenada x. Então tomamos x(t)=t.
  • Para z esperamos uma função quadrática de x, porque uma parábola em coordenadas cartesianas tem a forma de um polinômio de segundo grau. Assim tomamos a forma geral z(t)=a t^{2} + b t + c,onde a,b,c são constantes reais a determinar.

Passo 3

Usar a condição do vértice (0,0,4) para obter relações entre a,b,c.
  • O vértice tem x=0 e z=4. Substituindo t=0 na expressão de z(t) obtemos z(0)=c=4.Logo c=4.
  • Além disso, o vértice é um extremo de z em relação a x, portanto a derivada de z em t se anula em t=0. A derivada é z'(t)=2a t + b.Em t=0 devemos ter z'(0)=b=0.
    Logo b=0.
Até aqui temos z(t)=a t^{2}+4.

Passo 4

Usar os pontos dados para determinar a.
  • A parábola passa por (2,0,0). Como escolhemos x=t e y=0, isso corresponde a t=2 e z=0. Substituindo em z(t): 0 = z(2) = a\cdot 2^{2} + 4 = 4a + 4.
  • Resolvend o para a: 4a + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -1.

Passo 5

Escrever a parametrização final e verificar rapidamente.
  • Substituindo a=-1, b=0, c=4 nas componentes: x(t)=t,\qquad y(t)=0,\qquad z(t)=-t^{2}+4.
  • Em forma vetorial: \mathbf{r}(t) = \bigl(t,\,0,\,-t^{2}+4\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Verificações rápidas:
    • t=0\Rightarrow \mathbf{r}(0)=(0,0,4) (vértex).
    • t=2\Rightarrow \mathbf{r}(2)=(2,0,0).
    • t=-2\Rightarrow \mathbf{r}(-2)=(-2,0,0).
      Todas batem certinho.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\,0,\,-t^{2}+4\bigr),\\ t\in\mathbb{R}

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