Parametrize o círculo no espaço que passa pelos pontos (
) , (
) e (0,0,1)
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço e pede uma parametrização do círculo que passa por eles. Pontos dados:
O que se pede: encontrar uma função vetorial
com
variando em um intervalo de comprimento
(por exemplo
) tal que o conjunto das imagens seja exatamente o círculo que passa por esses três pontos.
Passo 2
Identificar a curva geométrica: os três pontos estão sobre a esfera unitária
(cada um tem norma
) e também satisfazem
. Logo o círculo é a interseção da esfera unitária com o plano
Esse é o princípio: a interseção de uma esfera com um plano que corta a esfera é um círculo.
Passo 3
Encontrar o centro do círculo: o centro
do círculo é a projeção do centro da esfera (origem) sobre o plano. Para um plano dado por
com
e
, a projeção do ponto
sobre o plano é
Aqui
. Portanto
Comentário rápido sobre a fórmula: projetar a origem no plano significa deslocar na direção normal até que a equação do plano seja satisfeita; como a equação do plano é
, o ponto
satisfaz
, daí
.
Passo 4
Calcular o raio do círculo: a esfera tem raio
. O raio
do círculo satisfaz
Como
, obtemos
Passo 5
Montar uma base ortonormal do plano para parametrizar o círculo: precisamos de dois vetores unitários
ortogonais entre si e pertencentes ao plano
(ou seja, ortogonais ao vetor normal
).
Escolhe-se primeiro
Verificação:
, logo
está no plano; o fator
normaliza
.
Passo 6
Construir
como produto vetorial entre a normal unitária e
, assim
é unitário, ortogonal a
e também no plano. Calcule a normal unitária
Faça o produto vetorial
. Calculando componente a componente:
O produto vetorial dá
Verificação rápida:
tem norma
e
, então é adequado.
Passo 7
Escrever a parametrização canônica do círculo usando centro, raio e base ortonormal: para
,
Substituindo
,
,
e
obtém-se (antes de simplificar)
Passo 8
Simplificar os coeficientes (isso deixa a forma mais bonita e prática na prova). As multiplicações dão:
Logo a forma simplificada é
Passo 9
Verificar que os três pontos dados estão na parametrização (checar alguns
convenientes):
- Para
: , . Substituindo dá . - Para
: , . Substituindo dá . - Para
(ou ): , . Substituindo dá .
Esses testes confirmam que a parametrização realmente gera o círculo pedido.