Parametrize o círculo no espaço que passa pelos pontos ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) e (0,0,1)

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede uma parametrização do círculo que passa por eles. Pontos dados:
  • (1,0,0)
  • (0,1,0)
  • (0,0,1)
O que se pede: encontrar uma função vetorial \mathbf{r}(t) com t variando em um intervalo de comprimento 2\pi (por exemplo t\in[0,2\pi)) tal que o conjunto das imagens seja exatamente o círculo que passa por esses três pontos.

Passo 2

Identificar a curva geométrica: os três pontos estão sobre a esfera unitária \,x^2+y^2+z^2=1 (cada um tem norma 1) e também satisfazem x+y+z=1. Logo o círculo é a interseção da esfera unitária com o plano
x+y+z=1.
Esse é o princípio: a interseção de uma esfera com um plano que corta a esfera é um círculo.

Passo 3

Encontrar o centro do círculo: o centro C do círculo é a projeção do centro da esfera (origem) sobre o plano. Para um plano dado por \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=d com \mathbf{n}=(1,1,1) e d=1, a projeção do ponto \mathbf{0} sobre o plano é
\mathbf{C}=\frac{d}{\|\mathbf{n}\|^2}\mathbf{n}.
Aqui \|\mathbf{n}\|^2=1^2+1^2+1^2=3. Portanto
\mathbf{C}=\frac{1}{3}(1,1,1)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Comentário rápido sobre a fórmula: projetar a origem no plano significa deslocar na direção normal até que a equação do plano seja satisfeita; como a equação do plano é \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}=d, o ponto \lambda\mathbf{n} satisfaz \lambda\|\mathbf{n}\|^2=d, daí \lambda=d/\|\mathbf{n}\|^2.

Passo 4

Calcular o raio do círculo: a esfera tem raio 1. O raio r do círculo satisfaz
r=\sqrt{1-\|\mathbf{C}\|^2}.
Como \|\mathbf{C}\|^2=3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2=\tfrac{1}{3}, obtemos
r=\sqrt{1-\tfrac{1}{3}}=\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 5

Montar uma base ortonormal do plano para parametrizar o círculo: precisamos de dois vetores unitários \mathbf{u},\mathbf{v} ortogonais entre si e pertencentes ao plano x+y+z=1 (ou seja, ortogonais ao vetor normal \mathbf{n}=(1,1,1)).
Escolhe-se primeiro
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0).
Verificação: \mathbf{n}\cdot\mathbf{u}=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot0=0, logo \mathbf{u} está no plano; o fator 1/\sqrt{2} normaliza \mathbf{u}.

Passo 6

Construir \mathbf{v} como produto vetorial entre a normal unitária e \mathbf{u}, assim \mathbf{v} é unitário, ortogonal a \mathbf{u} e também no plano. Calcule a normal unitária
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Faça o produto vetorial \mathbf{v}=\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{u}. Calculando componente a componente:
\hat{\mathbf{n}}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right),\qquad \mathbf{u}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right).
O produto vetorial dá
\mathbf{v}=\left(\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right).
Verificação rápida: \mathbf{v} tem norma 1 e \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0, então é adequado.

Passo 7

Escrever a parametrização canônica do círculo usando centro, raio e base ortonormal: para t\in[0,2\pi),
\mathbf{r}(t)=\mathbf{C}+r\big(\cos t\,\mathbf{u}+\sin t\,\mathbf{v}\big).
Substituindo \mathbf{C}, r, \mathbf{u} e \mathbf{v} obtém-se (antes de simplificar)
\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) +\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigg(\cos t\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right) +\sin t\left(\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right)\Bigg).

Passo 8

Simplificar os coeficientes (isso deixa a forma mais bonita e prática na prova). As multiplicações dão:
\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{3}},\qquad \sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{6}}=\tfrac{1}{3},\qquad \sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\Big(-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\Big)=-\tfrac{2}{3}.
Logo a forma simplificada é
\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) +\cos t\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}},0\right) +\sin t\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\right).

Passo 9

Verificar que os três pontos dados estão na parametrização (checar alguns t convenientes):
  • Para t=\tfrac{\pi}{6}: \cos t=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin t=\tfrac{1}{2}. Substituindo dá (1,0,0).
  • Para t=\tfrac{5\pi}{6}: \cos t=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin t=\tfrac{1}{2}. Substituindo dá (0,1,0).
  • Para t=-\tfrac{\pi}{2} (ou t=\tfrac{3\pi}{2}): \cos t=0, \sin t=-1. Substituindo dá (0,0,1).
Esses testes confirmam que a parametrização realmente gera o círculo pedido.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) +\cos t\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}},0\right) +\sin t\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\right),\quad t\in[0,2\pi).

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