Considere a parábola parametrizada \varphi(t)=\left(2 t, 1, t^{2}\right) e o ponto (6,1,9). Determine os vetores tangente unitário e normal unitário
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada \varphi(t)=\left(2t,\,1,\,t^{2}\right) e o ponto (6,1,9). Pede-se:
O vetor tangente unitário no ponto dado.
O vetor normal unitário no mesmo ponto.
Informações relevantes fornecidas:
A parametrização \varphi(t).
O ponto (6,1,9) que pertence à curva (ou que devemos verificar e usar para achar o parâmetro t correspondente).
Passo 2
Encontrar o valor de t que gera o ponto (6,1,9).
Da coordenada x temos 2t=6, portanto t=3.
Verificando a coordenada z: t^{2}=3^{2}=9, que coincide com a coordenada z do ponto. Logo o parâmetro correspondente é t=3.
Passo 3
Definir e calcular o vetor tangente e o vetor tangente unitário.
Conceito usado (explicação didática):
O vetor tangente à curva parametrizada em um parâmetro t é a derivada \varphi'(t). Ele aponta na direção em que a curva se move quando t cresce.
O vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) é a normalização de \varphi'(t):
Como ds/dt=\|\varphi'(t)\|, temos d\mathbf{T}/ds=(d\mathbf{T}/dt)/(ds/dt)=(d\mathbf{T}/dt)/\|\varphi'(t)\|. Ao normalizar, o fator escalar \|\varphi'(t)\| cancela; portanto é equivalente (em direção) normalizar d\mathbf{T}/dt:
Isso facilita: basta derivar \mathbf{T}(t) em relação a t e normalizar.
Cálculo detalhado:
Primeiro, expressemos \mathbf{T}(t) de forma fechada (antes de substituir t=3). Da Passo 3, usando \varphi'(t)=(2,0,2t) e \|\varphi'(t)\|=2\sqrt{1+t^{2}}, obtemos
Produto escalar \mathbf{T}(3)\cdot\mathbf{N}(3)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)+0\cdot0+\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)=\dfrac{-3+3}{10}=0. Logo são ortogonais.
Ambos têm norma 1 (pela construção), então são realmente vetores unitários e ortogonais — comportamento esperado.