Considere a parábola parametrizada \varphi(t)=\left(2 t, 1, t^{2}\right) e o ponto (6,1,9). Determine os vetores tangente unitário e normal unitário

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \varphi(t)=\left(2t,\,1,\,t^{2}\right) e o ponto (6,1,9). Pede-se:
  • O vetor tangente unitário no ponto dado.
  • O vetor normal unitário no mesmo ponto.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização \varphi(t).
  • O ponto (6,1,9) que pertence à curva (ou que devemos verificar e usar para achar o parâmetro t correspondente).

Passo 2

Encontrar o valor de t que gera o ponto (6,1,9).
Da coordenada x temos 2t=6, portanto t=3.
Verificando a coordenada z: t^{2}=3^{2}=9, que coincide com a coordenada z do ponto. Logo o parâmetro correspondente é t=3.

Passo 3

Definir e calcular o vetor tangente e o vetor tangente unitário.
Conceito usado (explicação didática):
  • O vetor tangente à curva parametrizada em um parâmetro t é a derivada \varphi'(t). Ele aponta na direção em que a curva se move quando t cresce.
  • O vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) é a normalização de \varphi'(t):
\mathbf{T}(t)=\frac{\varphi'(t)}{\|\varphi'(t)\|},
onde \|\varphi'(t)\| é o comprimento (norma) do vetor \varphi'(t), calculado por \|\varphi'(t)\|=\sqrt{(\varphi'_x)^2+(\varphi'_y)^2+(\varphi'_z)^2}.
Cálculo:
\varphi'(t)=\left(2,\,0,\,2t\right).
Em t=3:
\varphi'(3)=\left(2,\,0,\,6\right).
Norma:
\|\varphi'(3)\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.
Logo o vetor tangente unitário em t=3 é
\mathbf{T}(3)=\frac{\varphi'(3)}{\|\varphi'(3)\|}=\frac{(2,0,6)}{2\sqrt{10}}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\,0,\,\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Passo 4

Definir e calcular o vetor normal unitário.
Conceitos (explicação didática passo a passo):
  • O vetor normal unitário \mathbf{N}(t) é, por definição, a normalização da derivada do vetor tangente em relação ao comprimento de arco s:
\mathbf{N}(t)=\frac{d\mathbf{T}/ds}{\|d\mathbf{T}/ds\|}.
  • Como ds/dt=\|\varphi'(t)\|, temos d\mathbf{T}/ds=(d\mathbf{T}/dt)/(ds/dt)=(d\mathbf{T}/dt)/\|\varphi'(t)\|. Ao normalizar, o fator escalar \|\varphi'(t)\| cancela; portanto é equivalente (em direção) normalizar d\mathbf{T}/dt:
\mathbf{N}(t)=\frac{d\mathbf{T}/dt}{\|d\mathbf{T}/dt\|}.
Isso facilita: basta derivar \mathbf{T}(t) em relação a t e normalizar.
Cálculo detalhado:
Primeiro, expressemos \mathbf{T}(t) de forma fechada (antes de substituir t=3). Da Passo 3, usando \varphi'(t)=(2,0,2t) e \|\varphi'(t)\|=2\sqrt{1+t^{2}}, obtemos
\mathbf{T}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\,0,\,\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right).
Para derivar com respeito a t é útil notar f(t)=(1+t^{2})^{-1/2}. Então f'(t)=-t(1+t^{2})^{-3/2}.
Derivando componente a componente:
\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\left(-t(1+t^{2})^{-3/2},\,0,\, (1+t^{2})^{-3/2}\right).
Fatorando:
\frac{d\mathbf{T}}{dt}=(1+t^{2})^{-3/2}\,(-t,\,0,\,1).
Norma de \dfrac{d\mathbf{T}}{dt}:
\left\|\frac{d\mathbf{T}}{dt}\right\|=(1+t^{2})^{-3/2}\sqrt{(-t)^{2}+0^{2}+1^{2}}=(1+t^{2})^{-3/2}\sqrt{t^{2}+1}=(1+t^{2})^{-1}.
Agora a normalização:
\mathbf{N}(t)=\frac{\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}}{\left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}\right\|} =\frac{(1+t^{2})^{-3/2}(-t,0,1)}{(1+t^{2})^{-1}}=(1+t^{2})^{-1/2}(-t,0,1).
Portanto, explicitamente,
\mathbf{N}(t)=\frac{(-t,\,0,\,1)}{\sqrt{1+t^{2}}}.
Em t=3 isso dá
\mathbf{N}(3)=\frac{(-3,\,0,\,1)}{\sqrt{10}}=\left(-\frac{3}{\sqrt{10}},\,0,\,\frac{1}{\sqrt{10}}\right).

Passo 5

Verificação rápida (para dar confiança):
  • Produto escalar \mathbf{T}(3)\cdot\mathbf{N}(3)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(-\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)+0\cdot0+\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)=\dfrac{-3+3}{10}=0. Logo são ortogonais.
  • Ambos têm norma 1 (pela construção), então são realmente vetores unitários e ortogonais — comportamento esperado.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(3)=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\,0,\,\frac{3}{\sqrt{10}}\right)
\displaystyle \mathbf{N}(3)=\left(-\frac{3}{\sqrt{10}},\,0,\,\frac{1}{\sqrt{10}}\right)

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