Parametrize o segmento de reta que une dois pontos
. Mostre seguidamente que o seu comprimento é igual à distância entre esses pontos.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar o segmento de reta que une dois pontos
e mostrar que o comprimento dessa curva coincide com a distância euclidiana entre
e
. Vamos usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de comprimento de curva.
Passo 2
Para parametrizar o segmento de reta de
a
, basta usar um parâmetro
que, para
, dá
e, para
, dá
. Assim, definimos
Passo 3
O comprimento de uma curva
é dado pela integral do módulo da derivada:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Como
, temos
que é constante. Portanto,
para todo
.
Passo 5
Substituindo na integral do comprimento, obtemos
Como a distância euclidiana entre
e
em
é definida por
, concluímos que o comprimento do segmento de reta é exatamente essa distância.
Resposta
e