Parametrize o segmento de reta que une dois pontos A, B in R^n. Mostre seguidamente que o seu comprimento é igual à distância entre esses pontos.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o segmento de reta que une dois pontos A,BinR^n e mostrar que o comprimento dessa curva coincide com a distância euclidiana entre A e B. Vamos usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de comprimento de curva.

Passo 2

Para parametrizar o segmento de reta de A a B, basta usar um parâmetro tin[0,1] que, para t=0, dá A e, para t=1, dá B. Assim, definimos
r(t)=A + t,(B - A), tin[0,1]

Passo 3

O comprimento de uma curva r:[a,b]toR^n é dado pela integral do módulo da derivada:
L=integrala^b |r'(t)|,dt

Passo 4

Vamos calcular a derivada de r(t). Como r(t)=A+t(B-A), temos
r'(t)=B-A,
que é constante. Portanto,
|r'(t)|=|B-A|
para todo tin[0,1].

Passo 5

Substituindo na integral do comprimento, obtemos
L=integral0^1 |B-A|,dt=|B-A|integral0^1 dt=|B-A|
Como a distância euclidiana entre A e B em R^n é definida por |B-A|, concluímos que o comprimento do segmento de reta é exatamente essa distância.

Resposta

r(t)=A + t,(B - A), tin[0,1],
e
L=|B-A|

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