Sejam
um intervalo aberto de
com
uma curva de classe
e
. Suponha que
para todo o
e que
. Mostre que
para todo o
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma curva de classe C¹
num intervalo aberto
com
, e um vetor fixo
. Sabemos que
para todo
e que
. Precisamos mostrar que
para todo
. O conteúdo principal é a derivada do produto escalar e a propriedade de que uma função com derivada zero é constante.
Passo 2
Vamos definir a função escalar
Como
é de classe C¹ e
é constante, segue que
é de classe C¹. Agora usamos a regra de derivação do produto escalar:
Passo 3
Pelas hipóteses,
para todo
. Logo
em
. Pelo resultado clássico (função cuja derivada é identicamente zero é constante), temos
Como
, concluímos que
para todo
. Em outras palavras,
para todo
.