Sejam I um intervalo aberto de R com 0 in I, alpha: I R^3 uma curva de classe C^1 e v in R^3. Suponha que alpha^prime(t) cdot v=0 para todo o t in I e que alpha(0) cdot v=0. Mostre que alpha(t) cdot v=0 para todo o t in I.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma curva de classe C¹ alpha: ItoR^3 num intervalo aberto I com 0in I, e um vetor fixo vinR^3. Sabemos que alpha'(t)cdot v=0 para todo tin I e que alpha(0)cdot v=0. Precisamos mostrar que alpha(t)cdot v=0 para todo tin I. O conteúdo principal é a derivada do produto escalar e a propriedade de que uma função com derivada zero é constante.

Passo 2

Vamos definir a função escalar
f(t)=alpha(t)cdot v
Como alpha é de classe C¹ e v é constante, segue que f é de classe C¹. Agora usamos a regra de derivação do produto escalar:
f'(t)=alpha'(t)cdot v

Passo 3

Pelas hipóteses, alpha'(t)cdot v=0 para todo t. Logo f'(t)=0 em I. Pelo resultado clássico (função cuja derivada é identicamente zero é constante), temos
f(t)=f(0)
Como f(0)=alpha(0)cdot v=0, concluímos que f(t)=0 para todo tin I. Em outras palavras, alpha(t)cdot v=0 para todo t.

Resposta

alpha(t)cdot v=0 para todo tin I.

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