Considere a curva alpha:] 0, pi / 3[ R^2 dada por alpha(theta)=sen 3 theta(cos theta, sen theta).
(a) Esboce o traço da curva.
(b) Determine as coordenadas dos pontos da curva tais que a tangente à curva nesses pontos e o correspondente vetor de posição são ortogonais.
© Calcule a aceleração, a aceleração tangencial e a aceleração normal nesses pontos.

Passo 1

A curva é dada por alpha(theta)=sin3theta,(costheta,sintheta) em 0. Isso é exatamente a representação polar r(theta)=sin3theta com o ângulo theta. Vamos usar isso pra esboçar a forma, depois calcular derivadas pra achar ortogonalidade, e enfim obter acelerações.

Passo 2

Note que em coordenadas polares temos r(theta)=sin3theta e o ângulo é theta. A curva r=sin3theta forma uma rosa de 3 pétalas. No intervalo 0 aparece justamente uma pétala: sai da origem em theta=0, cresce até r=1 em theta=pi/6 e volta à origem em theta=pi/3. Esse é o traço que devemos esboçar.

Passo 3

Para achar a tangente, usamos regra do produto. Defina r(theta)=sin3theta e u(theta)=(costheta,sintheta). Então
nablaalpha(theta)=r'(theta),u(theta)+r(theta),u'(theta)
com
r'(theta)=3cos3theta, u'(theta)=(-sintheta,costheta)

Passo 4

Para encontrar quando a tangente é ortogonal ao vetor de posição, impomos
alpha'(theta)cdotalpha(theta)=0
Fazendo o produto escalar e usando cos^2theta+sin^2theta=1 obtemos
alpha'(theta)cdotalpha(theta)=3cos3thetasin3theta=tfrac32sin6theta
Então
sin6theta=0implies6theta=kpiimpliestheta=kpi6
No intervalo (0,pi/3) theta=pi/6 vale.

Passo 5

Substituindo theta=pi/6 em alpha temos
alphal(tfracpi6r)=sintfracpi2,l(costfracpi6,sintfracpi6r)=(1),l(tfracraiz32,tfrac12r)=(tfracraiz32,tfrac12)

Passo 6

A aceleração é alpha''=r''u+2r'u'+ru'' com r''=-9sin3theta e u''=-u. Logo
alpha''(theta)=-10sin3theta,u+6cos3theta,u'
Em theta=pi/6 temos sin3theta=1,cos3theta=0, então
alpha''l(tfracpi6r)=-10(costfracpi6,sintfracpi6)=(-5raiz3,-5)

Passo 7

Para as componentes tangencial e normal: a velocidade em pi/6 é alpha'=(0)u+(1)u'=(-tfrac12,tfracraiz32) de norma 1. Assim o vetor tangente unitário é T=(-tfrac12,tfracraiz32).
A componente tangencial é aT=alpha''cdot T=(-5raiz3,-5)cdot(-tfrac12,tfracraiz32)=0. A normal é (a_N=\sqrt{|\alpha’’|2-a_T2}=|\alpha’’|=\sqrt{(5\sqrt3)2+52}=10.]

Resposta

(a) É uma pétala da rosa polar r=sin3theta entre theta=0 e theta=pi/3, saindo da origem, chegando em raio 1 quando theta=pi/6 e voltando à origem em pi/3.
(b) Há ortogonalidade só em theta=pi/6, cujo ponto é (tfracraiz32,tfrac12).
© Em pi/6 a aceleração é alpha''=(-5raiz3,-5), a componente tangencial vale aT=0 e a componente normal aN=10.

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