Considere a curva
dada por
.
(a) Esboce o traço da curva.
(b) Determine as coordenadas dos pontos da curva tais que a tangente à curva nesses pontos e o correspondente vetor de posição são ortogonais.
© Calcule a aceleração, a aceleração tangencial e a aceleração normal nesses pontos.
(a) Esboce o traço da curva.
(b) Determine as coordenadas dos pontos da curva tais que a tangente à curva nesses pontos e o correspondente vetor de posição são ortogonais.
© Calcule a aceleração, a aceleração tangencial e a aceleração normal nesses pontos.
Passo 1
A curva é dada por
em
. Isso é exatamente a representação polar
com o ângulo
. Vamos usar isso pra esboçar a forma, depois calcular derivadas pra achar ortogonalidade, e enfim obter acelerações.
Passo 2
Note que em coordenadas polares temos
e o ângulo é
. A curva
forma uma rosa de 3 pétalas. No intervalo
aparece justamente uma pétala: sai da origem em
, cresce até
em
e volta à origem em
. Esse é o traço que devemos esboçar.
Passo 3
Para achar a tangente, usamos regra do produto. Defina
e
. Então
com
Passo 4
Para encontrar quando a tangente é ortogonal ao vetor de posição, impomos
Fazendo o produto escalar e usando
Então
No intervalo
Passo 5
Substituindo
em
temos
Passo 6
A aceleração é
com
e
. Logo
Em
Passo 7
Para as componentes tangencial e normal: a velocidade em
é
de norma 1. Assim o vetor tangente unitário é
.
A componente tangencial é . A normal é (a_N=\sqrt{|\alpha’’|2-a_T2}=|\alpha’’|=\sqrt{(5\sqrt3)2+52}=10.]
A componente tangencial é
Resposta
(a) É uma pétala da rosa polar
entre
e
, saindo da origem, chegando em raio 1 quando
e voltando à origem em
.
(b) Há ortogonalidade só em , cujo ponto é
.
© Em a aceleração é
, a componente tangencial vale
e a componente normal
.
(b) Há ortogonalidade só em
© Em