Parametrize as seguintes curvas em mathbb{R}^{3} :
(0,5) a circunferência centrada no ponto (2,1,3), de raio r=2 e contida no plano z=3, orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma parametrização da circunferência com as características abaixo. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Centro: \,(2,1,3).
  • Raio: \,r=2.
  • Plano que contém a circunferência: \,z=3 (ou seja, a circunferência está paralela ao plano xy e tem coordenada z constante igual a 3).
  • Orientação: sentido horário.
    O que se pede: uma função vetor \mathbf{r}(t) que descreva essa circunferência com o sentido indicado (horário) e o intervalo de parâmetro apropriado.

Passo 2

Vou lembrar a parametrização padrão de uma circunferência de raio \,r centrada na origem do plano xy.
A parametrização padrão é
(x,y) = (r\cos t,\; r\sin t),
com t variando em [0,2\pi]. Explicando por que: para qualquer t,
(r\cos t)^2 + (r\sin t)^2 = r^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = r^2,
então o ponto está sempre a distância r da origem — isto é, sobre a circunferência de raio r. O parâmetro t é o ângulo polar (em radianos) medido a partir do eixo x.

Passo 3

Agora, para uma circunferência de raio \,r centrada em um ponto (h,k) no plano xy, basta transladar a parametrização:
(x,y) = (h + r\cos t,\; k + r\sin t).
No nosso caso temos h=2, k=1, r=2, e a circunferência está no plano z=3, então uma parametrização natural (mas que gera orientação contrária à pedida) é
\mathbf{r}_\text{ccw}(t)=\langle 2+2\cos t,\; 1+2\sin t,\; 3\rangle,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Aqui o t é o ângulo medido no plano xy; quando t aumenta, esse \mathbf{r}_\text{ccw} descreve a circunferência no sentido anti-horário quando vista do lado positivo do eixo z (isto é, olhando de cima, no sentido usual).

Passo 4

Precisamos da orientação no sentido horário. Para inverter a direção de percurso sobre a circunferência existem duas maneiras simples:
  • trocar t por -t na parametrização, ou
  • trocar o sinal da componente \sin t (equivalente a refletir o sentido angular).
    Vou usar a forma direta mudando o sinal da componente em y. Assim uma parametrização que anda no sentido horário (quando vista do positivo do eixo z) é
\mathbf{r}(t)=\langle 2+2\cos t,\; 1-2\sin t,\; 3\rangle,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Posso checar rapidamente a orientação: em t=0 o ponto é \langle 4,1,3\rangle. A derivada é
\mathbf{r}'(t)=\langle -2\sin t,\; -2\cos t,\; 0\rangle,
em t=0 isso dá \mathbf{r}'(0)=\langle 0,-2,0\rangle, ou seja, o movimento inicial é na direção negativa de y, portanto, visto de cima (eixo z positivo saindo de você), isso corresponde a movimento no sentido horário. Perfeito.

Passo 5

Condição no parâmetro e continuidade: usamos t\in[0,2\pi]. Em t=0 e t=2\pi obtemos o mesmo ponto, então é uma curva fechada suave. O parâmetro t é o ângulo em radianos.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\langle 2+2\cos t,\;1-2\sin t,\;3\rangle,\quad 0\le t\le 2\pi.

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