Parametrize as seguintes curvas em
:
a circunferência centrada no ponto
, de raio
e contida no plano
, orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre uma parametrização da circunferência com as características abaixo. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Centro:
. - Raio:
. - Plano que contém a circunferência:
(ou seja, a circunferência está paralela ao plano e tem coordenada constante igual a ). - Orientação: sentido horário.
O que se pede: uma função vetorque descreva essa circunferência com o sentido indicado (horário) e o intervalo de parâmetro apropriado.
Passo 2
Vou lembrar a parametrização padrão de uma circunferência de raio
centrada na origem do plano
.
A parametrização padrão é
A parametrização padrão é
com
variando em
. Explicando por que: para qualquer
,
então o ponto está sempre a distância
da origem — isto é, sobre a circunferência de raio
. O parâmetro
é o ângulo polar (em radianos) medido a partir do eixo
.
Passo 3
Agora, para uma circunferência de raio
centrada em um ponto
no plano
, basta transladar a parametrização:
No nosso caso temos
,
,
, e a circunferência está no plano
, então uma parametrização natural (mas que gera orientação contrária à pedida) é
Aqui o
é o ângulo medido no plano
; quando
aumenta, esse
descreve a circunferência no sentido anti-horário quando vista do lado positivo do eixo
(isto é, olhando de cima, no sentido usual).
Passo 4
Precisamos da orientação no sentido horário. Para inverter a direção de percurso sobre a circunferência existem duas maneiras simples:
- trocar
por na parametrização, ou - trocar o sinal da componente
(equivalente a refletir o sentido angular).
Vou usar a forma direta mudando o sinal da componente em. Assim uma parametrização que anda no sentido horário (quando vista do positivo do eixo ) é
Posso checar rapidamente a orientação: em
o ponto é
. A derivada é
em
isso dá
, ou seja, o movimento inicial é na direção negativa de
, portanto, visto de cima (eixo
positivo saindo de você), isso corresponde a movimento no sentido horário. Perfeito.
Passo 5
Condição no parâmetro e continuidade: usamos
. Em
e
obtemos o mesmo ponto, então é uma curva fechada suave. O parâmetro
é o ângulo em radianos.