Encontre uma parametrização para a reta que liga os pontos P(1,2,-1) e Q(4,3,2). Por ultimo, calcule o comprimento de arco do segmento de reta que liga os pontos P e Q.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar uma parametrização da reta que liga os pontos P(1,2,-1) e Q(4,3,2); (2) calcular o comprimento de arco do segmento de reta que vai de P a Q.
Dados fornecidos: as coordenadas de P e de Q, isto é \,P=(1,2,-1)\, e \,Q=(4,3,2).
Passo 2
Vamos lembrar (de maneira bem direta) como parametrizar uma reta em \mathbb{R}^3. Se eu tenho um ponto \mathbf{r}_0 da reta e um vetor direção \mathbf{v} da reta, uma parametrização é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0 + t\,\mathbf{v},
onde t\in\mathbb{R} percorre toda a reta. Aqui \mathbf{r}(t) é o vetor posição (x(t),y(t),z(t)), \mathbf{r}_0 é um ponto conhecido da reta e \mathbf{v} é o vetor que indica a direção e o sentido da reta. No caso de um segmento entre dois pontos, podemos escolher t em um intervalo [a,b] para percorrer só o segmento.
Passo 3
Precisamos do vetor direção \mathbf{v} que vai de P a Q. Calcula-se subtraindo as coordenadas:
\mathbf{v}=Q-P=(4-1,\;3-2,\;2-(-1)).
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
\mathbf{v}=(3,\;1,\;3).
Aqui expliquei: subtrai-se cada componente de P da correspondente de Q.
Passo 4
Escolho como ponto base \mathbf{r}_0 o ponto P=(1,2,-1). Aplicando a fórmula da parametrização:
\mathbf{r}(t)=(1,2,-1)+t(3,1,3).
Escrevendo em coordenadas:
\mathbf{r}(t)=\bigl(1+3t,\;2+t,\;-1+3t\bigr).
Se quisermos a reta inteira tomamos t\in\mathbb{R}. Se quisermos apenas o segmento de P até Q escolhemos t\in[0,1] porque para t=0 obtemos \mathbf{r}(0)=P e para t=1 obtemos \mathbf{r}(1)=P+\mathbf{v}=Q.
Passo 5
Agora o comprimento de arco do segmento: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) em t\in[a,b] a fórmula do comprimento é
L=\int_a^b \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana (ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes).
Passo 6
No nosso caso \mathbf{r}(t)=(1+3t,\,2+t,\,-1+3t). Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=(3,\,1,\,3),
que é exatamente o vetor direção \mathbf{v} (isso acontece porque a parametrização é afim). A norma desse vetor é
Interpretação: o comprimento do segmento é simplesmente a norma do vetor que vai de P a Q.
Passo 7
Resumo prático que você pode usar na prova: a parametrização com t\in[0,1] dá diretamente o segmento de P a Q, e o comprimento é a norma do vetor diferença Q-P. Fica como receita rápida:
\mathbf{r}(t)=P+t(Q-P),\quad t\in[0,1],
e
\text{comprimento}= \|Q-P\|.
Resposta
\mathbf{r}(t)=(1+3t,\;2+t,\;-1+3t),\quad t\in[0,1]\n\text{Comprimento do segmento }PQ=\sqrt{19}