Dada a curva r(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), t \in \mathbb{R}, calcule a velocidade, aceleração e curvatura da curva r(t) no ponto t=2 \pi.
Passo 1
O enunciado dá a curva \,r(t)=(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;t),\;t\in\mathbb{R}\, e pede três coisas no ponto t=2\pi: a velocidade, a aceleração e a curvatura da curva.
Informações relevantes fornecidas: \,r(t)=(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;t)\,.
O que devemos calcular especificamente em t=2\pi:
o vetor velocidade \,r'(2\pi)\,;
o vetor aceleração \,r''(2\pi)\,;
a curvatura \,\kappa(2\pi)\,.
Passo 2
Definição e cálculo da velocidade geral.
A velocidade (vetor velocidade) de uma curva é a derivada do vetor posição em relação ao parâmetro: \,v(t)=r'(t)\,. Para derivar componentes use as derivadas elementares: \,\frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),\;\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t),\;\frac{d}{dt}t=1.
Portanto, derivando componente a componente obtemos:
r'(t)=(-\sin(t),\;\cos(t),\;1).
Também é útil saber a velocidade escalar (módulo do vetor velocidade), que é \,\|r'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2}.
Passo 3
Avaliação da velocidade no ponto \,t=2\pi.
Usamos que \,\sin(2\pi)=0 e \,\cos(2\pi)=1. Substituindo em \,r'(t)\,:
Definição e cálculo da aceleração geral.
A aceleração é a derivada da velocidade: \,a(t)=r''(t)=\dfrac{d}{dt}r'(t)\,. Derivando cada componente de \,r'(t)=(-\sin t,\cos t,1)\,: \,\frac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t,\;\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,\;\frac{d}{dt}(1)=0.
Assim:
r''(t)=(-\cos(t),\;-\sin(t),\;0).
Passo 5
Avaliação da aceleração em \,t=2\pi.
Usando \,\cos(2\pi)=1 e \,\sin(2\pi)=0, temos
Intuição curta: \,r'\times r''\, mede quanto a direção do vetor velocidade está mudando num sentido perpendicular, e dividir por \|r'\|^3 normaliza pelo tamanho da velocidade para obter apenas a curvatura geométrica.
Passo 7
Cálculo do produto vetorial \,r'(t)\times r''(t)\, de forma explícita.
Usamos r'(t)=(-\sin t,\cos t,1) e r''(t)=(-\cos t,-\sin t,0). O produto vetorial é dado pelo determinante das componentes:
r'(t)\times r''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -\sin t & \cos t & 1 \\[4pt] -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix}.