Dada a curva r(t)=(\cos (t), \operatorname{sen}(t), t), t \in \mathbb{R}, calcule a velocidade, aceleração e curvatura da curva r(t) no ponto t=2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva \,r(t)=(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;t),\;t\in\mathbb{R}\, e pede três coisas no ponto t=2\pi: a velocidade, a aceleração e a curvatura da curva.
Informações relevantes fornecidas:
\,r(t)=(\cos(t),\;\operatorname{sen}(t),\;t)\,.
O que devemos calcular especificamente em t=2\pi:
  1. o vetor velocidade \,r'(2\pi)\,;
  2. o vetor aceleração \,r''(2\pi)\,;
  3. a curvatura \,\kappa(2\pi)\,.

Passo 2

Definição e cálculo da velocidade geral.
A velocidade (vetor velocidade) de uma curva é a derivada do vetor posição em relação ao parâmetro: \,v(t)=r'(t)\,. Para derivar componentes use as derivadas elementares:
\,\frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),\;\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t),\;\frac{d}{dt}t=1.
Portanto, derivando componente a componente obtemos:
r'(t)=(-\sin(t),\;\cos(t),\;1).
Também é útil saber a velocidade escalar (módulo do vetor velocidade), que é \,\|r'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2}.

Passo 3

Avaliação da velocidade no ponto \,t=2\pi.
Usamos que \,\sin(2\pi)=0 e \,\cos(2\pi)=1. Substituindo em \,r'(t)\,:
r'(2\pi)=(-\sin(2\pi),\;\cos(2\pi),\;1)=(0,\;1,\;1).
O módulo (velocidade escalar) em t=2\pi é
\|r'(2\pi)\|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}.

Passo 4

Definição e cálculo da aceleração geral.
A aceleração é a derivada da velocidade: \,a(t)=r''(t)=\dfrac{d}{dt}r'(t)\,. Derivando cada componente de \,r'(t)=(-\sin t,\cos t,1)\,:
\,\frac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t,\;\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t,\;\frac{d}{dt}(1)=0.
Assim:
r''(t)=(-\cos(t),\;-\sin(t),\;0).

Passo 5

Avaliação da aceleração em \,t=2\pi.
Usando \,\cos(2\pi)=1 e \,\sin(2\pi)=0, temos
r''(2\pi)=(-\cos(2\pi),\;-\sin(2\pi),\;0)=(-1,\;0,\;0).

Passo 6

Definição da curvatura e plano de cálculo.
Uma fórmula prática para a curvatura de uma curva regular em \mathbb{R}^3 é
\kappa(t)=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}.
Intuição curta: \,r'\times r''\, mede quanto a direção do vetor velocidade está mudando num sentido perpendicular, e dividir por \|r'\|^3 normaliza pelo tamanho da velocidade para obter apenas a curvatura geométrica.

Passo 7

Cálculo do produto vetorial \,r'(t)\times r''(t)\, de forma explícita.
Usamos r'(t)=(-\sin t,\cos t,1) e r''(t)=(-\cos t,-\sin t,0). O produto vetorial é dado pelo determinante das componentes:
r'(t)\times r''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -\sin t & \cos t & 1 \\[4pt] -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\begin{aligned} \text{componente } \mathbf{i}:&\; \cos t\cdot 0 - 1\cdot(-\sin t)=\sin t,\\[4pt] \text{componente } \mathbf{j}:&\; -\big((- \sin t)\cdot 0 - 1\cdot(-\cos t)\big)=-\cos t,\\[4pt] \text{componente } \mathbf{k}:&\; (-\sin t)(- \sin t)-(\cos t)(- \cos t)=\sin^2 t+\cos^2 t=1. \end{aligned}
Logo
r'(t)\times r''(t)=(\sin t,\; -\cos t,\;1).]

Passo 8

Avaliação do produto vetorial em \,t=2\pi\, e cálculo da curvatura.
Com \sin(2\pi)=0,\;\cos(2\pi)=1 obtemos
r'(2\pi)\times r''(2\pi)=(0,\;-1,\;1).
O módulo desse vetor é
\|r'(2\pi)\times r''(2\pi)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}.
Já calculamos \|r'(2\pi)\|=\sqrt{2}. Portanto a curvatura em t=2\pi é
\kappa(2\pi)=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3=\;2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.

Resposta

\;r'(2\pi)=(0,\;1,\;1)
\;r''(2\pi)=(-1,\;0,\;0)
\;\kappa(2\pi)=\dfrac{1}{2}

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