Uma parede de 2 cm de espessura deve ser construída com um material que tem uma condutividade térmica média de 1,3 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. A parede deve ser isolada com um material cuja condutividade térmica média é 0,35 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, de tal forma que a perda de calor por metro quadrado não seja superior a 1830 W . Considerando que as temperaturas das superfícies interna e externa da parede composta são 1300 e 30^{\circ} \mathrm{C}, calcule a espessura do isolamento.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a espessura do isolamento:
L_1 = 2\\ \text{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}
k_1 = 1,3\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}
k_2 = 0,35\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}
T_{\text{in}} = 1300^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{out}} = 30^\circ\mathrm{C}
\dot{Q}_{\max}/A = 1830\\ \mathrm{W/m^2}
O que se pede: a espessura do isolamento, que chamarei de L_2.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para condução unidimensional estacionária em uma lâmina homogênea, a densidade de fluxo de calor (perda de calor por unidade de área) é dada por uma forma da Lei de Fourier:
\dot{q}=\frac{\Delta T}{R},
onde \dot{q}=\dot{Q}/A é a potência por área ( \mathrm{W/m^2}), \Delta T é a diferença de temperatura entre as superfícies, e R é a resistência térmica por unidade de área.
  • Para uma lâmina plana de espessura L e condutividade térmica k, a resistência térmica por unidade de área é
R=\frac{L}{k}.
  • Para várias camadas em série (aqui: primeiro a parede de núcleo, depois o isolamento), as resistências se somam:
R_{\text{total}}=\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}.
Portanto a fórmula para o fluxo de calor através da parede composta é
\dot{q}=\frac{T_{\text{in}}-T_{\text{out}}}{\dfrac{L_1}{k_1}+\dfrac{L_2}{k_2}}.
Explicando as variáveis:
  • T_{\text{in}}-T_{\text{out}} é a diferença de temperatura total que impulsiona a condução;
  • L_1/k_1 é a resistência da parede base;
  • L_2/k_2 é a resistência do isolamento (o que queremos achar).

Passo 3

Isolando L_2 na fórmula acima. Começamos escrevendo
\dot{q}=\frac{\Delta T}{\dfrac{L_1}{k_1}+\dfrac{L_2}{k_2}},
onde \Delta T=T_{\text{in}}-T_{\text{out}}. Invertendo ambos os lados:
\frac{1}{\dot{q}}=\frac{1}{\Delta T}\left(\frac{L_1}{k_1}+\frac{L_2}{k_2}\right).
Multiplicando por \Delta T e isolando \dfrac{L_2}{k_2}:
\frac{L_2}{k_2}=\frac{\Delta T}{\dot{q}}-\frac{L_1}{k_1}.
Finalmente:
L_2=k_2\left(\frac{\Delta T}{\dot{q}}-\frac{L_1}{k_1}\right).

Passo 4

Agora substituímos os números conhecidos. Primeiro calcule a diferença de temperatura:
\Delta T = 1300^\circ\mathrm{C}-30^\circ\mathrm{C}=1270^\circ\mathrm{C}.
Também temos \dot{q} = 1830\\ \mathrm{W/m^2}. Então
\frac{\Delta T}{\dot{q}}=\frac{1270}{1830}\approx 0,6945355191.
E
\frac{L_1}{k_1}=\frac{0,02}{1,3}\approx 0,0153846154\\ \mathrm{(m^2\! \cdot ^\circ C / W)}.

Passo 5

Subtraindo os termos no parêntese:
\frac{\Delta T}{\dot{q}}-\frac{L_1}{k_1}\approx 0,6945355191-0,0153846154\approx 0,6791509037.

Passo 6

Multiplicando por k_2=0,35 para obter L_2:
L_2 = 0,35\times 0,6791509037 \approx 0,2377028163\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros:
L_2 \approx 23,77\\ \mathrm{cm}\approx 23,8\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): com L_2\approx 0,2377\\ \mathrm{m} a resistência total é
R_{\text{tot}}=\frac{0,02}{1,3}+\frac{0,2377028}{0,35}\approx 0,01538+0,67915\approx 0,69453\\ \mathrm{m^2\! \cdot ^\circ C / W}.
Então o fluxo calculado seria
\dot{q}=\frac{1270}{0,69453}\approx 1830\\ \mathrm{W/m^2},
ou seja, bate com a exigência (considerando arredondamentos).

Passo 8

Prontinho — a espessura do isolamento calculada garante que a perda por metro quadrado não exceda o limite pedido. Força aí na prova, você já viu todo o raciocínio que precisa aplicar!

Resposta

L_2 \approx 0,238\\ \mathrm{m} (aprox. 23,8\\ \mathrm{cm})

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