Resolver
t^{2} y^{\prime}+2 t y-y^{3}=0, \quad t>0
t^{2} y^{\prime}+2 t y-y^{3}=0, \quad t>0
Passo 1
Temos a equação diferencial dada
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral
válida em
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constante arbitrária. Não vamos resolver nada ainda aqui — apenas identificamos o que foi dado e o objetivo.
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão (dividindo por
, que é permitido pois
):
Agora observamos a forma: é uma equação do tipo Bernoulli,
com
,
e
. Vou explicar a técnica Bernoulli de forma bem didática: a ideia é eliminar o termo
por uma mudança de variável. Para uma equação Bernoulli com expoente
, usa-se a substituição
Aqui
, então escolhemos
Essa substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para
. Vou mostrar passo a passo como isso acontece.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em função de
. Como
,
Queremos eliminar
usando a equação original. Da forma já escrita em Passo 2,
Substituímos essa expressão em
:
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro,
e
. Então
Lembrando que
, obtemos uma equação para
:
Reorganizando para a forma padrão linear,
Passo 4
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
:
Vou resolver com fator integrante. Para uma equação do tipo
, o fator integrante é
Aqui
, então
válido em
. Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Integramos ambos os lados em
:
Calcule a integral:
. Então
Adicionamos a constante de integração
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Voltamos à variável original
. Lembre que
, logo
Agora resolvemos para
. Tomando recíproco e raiz quadrada, obtemos (incluindo o sinal
da raiz)
Devemos também lembrar da solução trivial
, que não é coberta pela transformação
(porque
não está definida em
), mas que verifica a equação original. Portanto as soluções gerais são as acima, com
constante arbitrária real. Observação sobre domínio: como
, as potências de
estão bem definidas; a expressão dentro da raiz deve ser positiva para a solução real, o que impõe restrições sobre
se quisermos soluções reais em todo um intervalo específico — mas, em geral, a constante
dá a família de soluções.