Resolver
t^{2} y^{\prime}+2 t y-y^{3}=0, \quad t>0

Passo 1

Temos a equação diferencial dada
t^{2}y'(t)+2ty(t)-y(t)^{3}=0,\qquad t>0.
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral y(t) válida em t>0.
Informações relevantes do enunciado:
\text{(i)}\quad t>0;
\text{(ii)}\quad t^{2}y'+2ty-y^{3}=0.
Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com constante arbitrária. Não vamos resolver nada ainda aqui — apenas identificamos o que foi dado e o objetivo.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão (dividindo por t^{2}, que é permitido pois t>0):
y'(t)+\frac{2}{t}y(t)=\frac{1}{t^{2}}y(t)^{3}.
Agora observamos a forma: é uma equação do tipo Bernoulli,
y'+P(t)y=Q(t)y^{n},
com P(t)=\dfrac{2}{t}, Q(t)=\dfrac{1}{t^{2}} e n=3. Vou explicar a técnica Bernoulli de forma bem didática: a ideia é eliminar o termo y^{n} por uma mudança de variável. Para uma equação Bernoulli com expoente n, usa-se a substituição
u(t)=y(t)^{1-n}.
Aqui 1-n=1-3=-2, então escolhemos
u(t)=y(t)^{-2}.
Essa substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para u. Vou mostrar passo a passo como isso acontece.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em função de y. Como u=y^{-2},
u'=\frac{d}{dt}\big(y^{-2}\big)=-2y^{-3}y'.
Queremos eliminar y' usando a equação original. Da forma já escrita em Passo 2,
y'=\frac{1}{t^{2}}y^{3}-\frac{2}{t}y.
Substituímos essa expressão em u':
u'=-2y^{-3}\left(\frac{1}{t^{2}}y^{3}-\frac{2}{t}y\right).
Agora simplificamos termo a termo. Primeiro, y^{-3}\cdot y^{3}=1 e y^{-3}\cdot y=y^{-2}. Então
u'=-2\left(\frac{1}{t^{2}}- \frac{2}{t}y^{-2}\right).
Lembrando que y^{-2}=u, obtemos uma equação para u:
u'=-\frac{2}{t^{2}}+ \frac{4}{t}u.
Reorganizando para a forma padrão linear,
u'-\frac{4}{t}u=-\frac{2}{t^{2}}.

Passo 4

Agora temos uma equação linear de primeira ordem para u:
u'-\frac{4}{t}u=-\frac{2}{t^{2}}.
Vou resolver com fator integrante. Para uma equação do tipo u'+a(t)u=b(t), o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int a(t)\,dt\right).
Aqui a(t)=-\dfrac{4}{t}, então
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{t}\,dt\right)=\exp(-4\ln t)=t^{-4},
válido em t>0. Multiplicando a equação por \mu(t)=t^{-4} obtemos
t^{-4}u' - \frac{4}{t}t^{-4}u = -2t^{-6}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (t^{-4}u), isto é,
\frac{d}{dt}\big(t^{-4}u\big) = -2t^{-6}.
Integramos ambos os lados em t:
t^{-4}u = \int -2t^{-6}\,dt.
Calcule a integral: \int t^{-6}\,dt = \dfrac{t^{-5}}{-5}. Então
\int -2t^{-6}\,dt = -2\cdot\frac{t^{-5}}{-5}=\frac{2}{5}t^{-5}.
Adicionamos a constante de integração C:
t^{-4}u=\frac{2}{5}t^{-5}+C.
Multiplicando por t^{4} obtemos
u(t)=Ct^{4}+\frac{2}{5}t^{-1}.

Passo 5

Voltamos à variável original y. Lembre que u=y^{-2}, logo
y(t)^{-2}=Ct^{4}+\frac{2}{5}t^{-1}.
Agora resolvemos para y(t). Tomando recíproco e raiz quadrada, obtemos (incluindo o sinal \pm da raiz)
y(t)=\pm\frac{1}{\sqrt{Ct^{4}+\dfrac{2}{5}t^{-1}}}.
Devemos também lembrar da solução trivial y(t)\equiv 0, que não é coberta pela transformação u=y^{-2} (porque y^{-2} não está definida em y=0), mas que verifica a equação original. Portanto as soluções gerais são as acima, com C constante arbitrária real. Observação sobre domínio: como t>0, as potências de t estão bem definidas; a expressão dentro da raiz deve ser positiva para a solução real, o que impõe restrições sobre C se quisermos soluções reais em todo um intervalo específico — mas, em geral, a constante C\in\mathbb{R} dá a família de soluções.

Resposta

\displaystyle y(t)=\pm\frac{1}{\sqrt{Ct^{4}+\dfrac{2}{5}t^{-1}}},\quad C\in\mathbb{R}.\n \displaystyle y(t)\equiv 0.

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