Calcule o rotacional do campo
\vec{F}(x, y, z)=\left(y+x^{2} z+e^{\cos x}, x+2 x y^{2}, z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial dado. Informações relevantes fornecidas:
\vec{F}(x,y,z)=\left(y+x^{2}z+e^{\cos x},\;x+2xy^{2},\;z^{2}\right).
A tarefa única é encontrar \nabla\times\vec{F}(x,y,z), ou seja, o vetor resultante do rotacional avaliado em coordenadas (x,y,z).

Passo 2

Definição prática que vamos usar: o rotacional de um campo vetorial \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) em coordenadas cartesianas é o vetor cujas componentes são
\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
Explicando cada símbolo:
  • \partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z são derivadas parciais: diferenciamos uma função em relação a uma variável mantendo as outras fixas.
  • F_{1},F_{2},F_{3} são as três componentes escalares do campo vetorial, dependendo de x,y,z.

Passo 3

Identificamos as componentes do campo fornecido:
F_{1}(x,y,z)=y+x^{2}z+e^{\cos x},
F_{2}(x,y,z)=x+2xy^{2},
F_{3}(x,y,z)=z^{2}.
Vou calcular as derivadas parciais necessárias componente a componente.

Passo 4

Primeira componente do rotacional:
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_{1}=\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}.
Calculemos as derivadas:
  • \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(z^{2}\right)=0 porque z^{2} não depende de y.
  • \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(x+2xy^{2}\right)=0 porque F_{2} não depende de z.
    Portanto,
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_{1}=0-0=0.

Passo 5

Segunda componente do rotacional:
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_{2}=\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}.
Calculemos as derivadas:
  • \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(y+x^{2}z+e^{\cos x}\right)=x^{2}, pois y e e^{\cos x} não dependem de z e a derivada de x^{2}z em relação a z é x^{2}.
  • \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(z^{2}\right)=0 porque z^{2} não depende de x.
    Portanto,
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_{2}=x^{2}-0=x^{2}.

Passo 6

Terceira componente do rotacional:
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_{3}=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}.
Calculemos as derivadas:
  • \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x+2xy^{2}\right)=1+2y^{2}. Aqui tratei y como constante; a derivada de x é 1 e a derivada de 2xy^{2} em relação a x é 2y^{2}.
  • \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(y+x^{2}z+e^{\cos x}\right)=1 porque somente o termo y depende de y.
    Portanto,
\left(\nabla\times\vec{F}\right)_{3}=(1+2y^{2})-1=2y^{2}.

Passo 7

Agora juntamos as três componentes que calculamos para escrever o rotacional completo:
\nabla\times\vec{F}(x,y,z)=\left(0,\;x^{2},\;2y^{2}\right).
Isso é tudo: calculei as derivadas parciais necessárias, somei/subtrai conforme a fórmula e simplifiquei.

Resposta

\nabla\times\vec{F}(x,y,z)=\left(0,\;x^{2},\;2y^{2}\right)

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