Calcule o rotacional do campo
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial dado. Informações relevantes fornecidas:
.
A tarefa única é encontrar , ou seja, o vetor resultante do rotacional avaliado em coordenadas
.
A tarefa única é encontrar
Passo 2
Definição prática que vamos usar: o rotacional de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é o vetor cujas componentes são
Explicando cada símbolo:
-
, , são derivadas parciais: diferenciamos uma função em relação a uma variável mantendo as outras fixas. -
são as três componentes escalares do campo vetorial, dependendo de .
Passo 3
Identificamos as componentes do campo fornecido:
Vou calcular as derivadas parciais necessárias componente a componente.
Passo 4
Primeira componente do rotacional:
Calculemos as derivadas:
-
porque não depende de . -
porque não depende de .
Portanto,
Passo 5
Segunda componente do rotacional:
Calculemos as derivadas:
-
, pois e não dependem de e a derivada de em relação a é . -
porque não depende de .
Portanto,
Passo 6
Terceira componente do rotacional:
Calculemos as derivadas:
-
. Aqui tratei como constante; a derivada de é e a derivada de em relação a é . -
porque somente o termo depende de .
Portanto,
Passo 7
Agora juntamos as três componentes que calculamos para escrever o rotacional completo:
Isso é tudo: calculei as derivadas parciais necessárias, somei/subtrai conforme a fórmula e simplifiquei.