A parede composta de um forno consiste de três materiais com condutividade térmicas conhecidas \mathrm{k}_{\mathrm{a}}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{k}_{\mathrm{b}}=30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{k}_{\mathrm{c}}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e espessuras \mathrm{L}_{\mathrm{a}}=30 \mathrm{~mm}, \mathrm{~L}_{\mathrm{b}}=15 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{L}_{\mathrm{c}}=15 \mathrm{~mm}. Em condições de operação de regime estacionário medições revelam temperaturas na interface entre os materiais A e B de 300^{\circ} \mathrm{C} e entre os materiais B e C
de 200^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de convecção no interior do forno vale 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) O fluxo de calor através da parede?
b) A temperatura na superfície interna do forno?
c) A temperatura no interior do forno?
d) A temperatura na superfície externa do forno?
e) 0 coeficiente de convenção externo considerando a temperatura ambiente de 20^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado descreve uma parede composta por três camadas planas (A, B e C) em regime estacionário de condução e convecção. As condutividades são \mathrm{k}_{a}=20, \mathrm{k}_{b}=30, \mathrm{k}_{c}=50 (todas em \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}), as espessuras são L_{a}=0{,}03, L_{b}=0{,}015 e L_{c}=0{,}015 (em metros). Sabemos que na interface A–B a temperatura é 300^\circ\mathrm{C} e na interface B–C é 200^\circ\mathrm{C}. O coeficiente de convecção interno vale h_i=25\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C} e a temperatura ambiente externa é 20^\circ\mathrm{C}. Vamos usar:
– Lei de Fourier para condução unidimensional em uma camada plana,
– Lei de Newton do resfriamento para convecção em superfícies.

Passo 2

Para achar o fluxo de calor por unidade de área \dot q'' usamos a condução na camada B, pois ela está entre as temperaturas conhecidas T_{AB}=300^\circ\mathrm{C} e T_{BC}=200^\circ\mathrm{C}. A lei de Fourier em regime estacionário diz
\dot q'' \;=\; -\,k_{b}\,\frac{T_{BC}-T_{AB}}{L_{b}}
o sinal menos indica que o calor flui do quente para o frio. Como queremos o valor positivo do módulo do fluxo, escrevemos
\dot q'' = k_{b}\,\frac{T_{AB}-T_{BC}}{L_{b}} =30\,\frac{300-200}{0{,}015} =30\cdot\frac{100}{0{,}015} =2,0\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Para achar a temperatura na superfície interna da parede (lado do forno) T_{s,i} aplicamos Fourier na camada A, considerando que ao sairmos de T_{AB} e avançarmos a espessura L_{a} chegamos em T_{s,i}. Assim
T_{s,i} \;=\; T_{AB} + \frac{\dot q''\,L_{a}}{k_{a}} =300 + \frac{2{,}0\times10^{5}\times0{,}03}{20} =300 + 300 =600^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Para achar a temperatura do gás dentro do forno T_{f} usamos a lei de Newton do resfriamento na superfície interna:
\dot q'' = h_i\,(T_{f}-T_{s,i}) \quad\Longrightarrow\quad T_{f} = T_{s,i} + \frac{\dot q''}{h_i} =600 + \frac{2{,}0\times10^{5}}{25} =600 + 8000 =8600^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Para a temperatura na superfície externa da parede T_{s,e} aplicamos Fourier na camada C, indo de T_{BC} até T_{s,e}:
T_{s,e} = T_{BC} - \frac{\dot q''\,L_{c}}{k_{c}} =200 - \frac{2{,}0\times10^{5}\times0{,}015}{50} =200 - 60 =140^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Finalmente, o coeficiente de convecção externo h_o satisfaz a lei de Newton entre T_{s,e} e a temperatura ambiente T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}:
\dot q'' = h_o\,(T_{s,e}-T_{\infty}) \quad\Longrightarrow\quad h_o = \frac{\dot q''}{T_{s,e}-T_{\infty}} = \frac{2{,}0\times10^{5}}{140-20} =1{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) \dot q''=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
b) T_{s,i}=600^\circ\mathrm{C}
c) T_{f}=8600^\circ\mathrm{C}
d) T_{s,e}=140^\circ\mathrm{C}
e) h_o=1{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2{}^\circ\mathrm{C}

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