Um tanque esférico possui diâmetro interno 200 cm , diâmetro externo de 215 cm e condutividade térmica de 100 \mathrm{~W} / m^{\circ} \mathrm{C}. Óleo é armazenado no interior do tanque a 180^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção do óleo e a superfície interna é de 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura do ambiente é 30^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor por convecção externo é de 30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Nessa situação um funcionário desprevenido pode se queimar ao encostar as mãos nessa tubulação. O departamento de segurança da empresa providenciou rapidamente um material isolante com espessura de 5 cm e condutividade térmica de 0,12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} para cobrir toda tubulação, determine: (5pts)
a) A taxa de transferência de calor sem isolante térmico?
b) Temperatura da superfície da tubulação sem isolante térmico? Nessa situação haverá queimadura no caso de contato com a tubulação sem isolante?
c) A taxa de transferência de calor com isolante térmico?
d) Temperatura da superfície externa do isolante térmico? Nessa situação haverá queimadura no caso de contato com a tubulação com isolante?

Passo 1

O enunciado trata de um tanque esférico com raio interno de 100 cm e externo de 107,5 cm, contendo óleo a 180\circC. Há convecção interna ( h_i=100,W/ m^{2} °C) e convecção externa sem isolante ( h_e=30,W/ m^{2} °C). O material do tanque tem k_s=100,W/m °C. Depois se adiciona isolamento de espessura 5 cm ( k_i=0{,}12,W/m °C). Precisamos calcular taxas de calor e temperaturas de superfícies sem e com isolamento. Vamos usar o método de resistências térmicas em coordenadas esféricas e convecção.

Passo 2

Convertemos para metros e calculamos as resistências sem isolamento. r_1=1{,}00,m, r_2=1{,}075,m.
A resistência convectiva interna é
R_{\mathrm{conv,i}}=\frac{1}{h_i\cdot4\pi r_1^2} =\frac{1}{100\cdot4\pi\,(1{,}00)^2} \approx7{,}96\times10^{-4}\;^\circ\mathrm{C/W}.
A resistência de condução no aço é
R_{\mathrm{cond,steel}} =\frac{1}{4\pi k_s}\Bigl(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot100}\Bigl(1-\frac{1}{1{,}075}\Bigr) \approx5{,}56\times10^{-5}\;^\circ\mathrm{C/W}.
A resistência convectiva externa (sem isolante) é
R_{\mathrm{conv,e}} =\frac{1}{h_e\cdot4\pi r_2^2} =\frac{1}{30\cdot4\pi\,(1{,}075)^2} \approx2{,}29\times10^{-3}\;^\circ\mathrm{C/W}.
Somando:
R_{\mathrm{total,sem}} =R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond,steel}}+R_{\mathrm{conv,e}} \approx0{,}00313\;^\circ\mathrm{C/W}.

Passo 3

A taxa de calor sem isolante é
\dot Q_{\mathrm{sem}} =\frac{T_{\mathrm{óleo}}-T_{\mathrm{amb}}} {R_{\mathrm{total,sem}}} =\frac{180-30}{0{,}00313} \approx4,79\times10^{4}\;\mathrm{W} \approx47{,}9\;\mathrm{kW}.ó

Passo 4

A temperatura da superfície externa do aço é
T_{s,sem} =T_{\mathrm{amb}}+\dot Q_{\mathrm{sem}}\;R_{\mathrm{conv,e}} =30+4{,}79\times10^{4}\times2{,}29\times10^{-3} \approx140\;^\circ\mathrm{C}.
Como 140\;^\circ\mathrm{C}\gg60\;^\circ\mathrm{C}, haveria risco de queimadura.

Passo 5

Agora incluindo o isolamento de 5 cm: r_3=1{,}075+0{,}05=1{,}125,m.
A resistência de condução no isolante é
R_{\mathrm{cond,ins}} =\frac{1}{4\pi k_i}\Bigl(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\Bigr) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}12}\Bigl(\frac{1}{1{,}075}-\frac{1}{1{,}125}\Bigr) \approx0{,}0274\;^\circ\mathrm{C/W}.
A resistência convectiva externa passa a ser
R_{\mathrm{conv,e,ins}} =\frac{1}{h_e\cdot4\pi r_3^2} =\frac{1}{30\cdot4\pi\,(1{,}125)^2} \approx2{,}10\times10^{-3}\;^\circ\mathrm{C/W}.
Somando todas as resistências:
R_{\mathrm{total,com}} =R_{\mathrm{conv,i}}+R_{\mathrm{cond,steel}} +R_{\mathrm{cond,ins}}+R_{\mathrm{conv,e,ins}} \approx0{,}0304\;^\circ\mathrm{C/W}.
A nova taxa de calor é
\dot Q_{\mathrm{com}} =\frac{180-30}{0{,}0304} \approx4,93\times10^{3}\;\mathrm{W} \approx4{,}93\;\mathrm{kW}.

Passo 6

A temperatura da face externa do isolante é
T_{s,com} =30+\dot Q_{\mathrm{com}}\;R_{\mathrm{conv,e,ins}} =30+4{,}93\times10^{3}\times2{,}10\times10^{-3} \approx40{,}4\;^\circ\mathrm{C}.
Como 40{,}4\;^\circ\mathrm{C}<60\;^\circ\mathrm{C}, não há risco de queimadura.

Resposta

a) \dot Q_{\mathrm{sem}}\approx47{,}9\;\mathrm{kW}.
b) T_{s,sem}\approx140\;^\circ\mathrm{C}, há risco de queimadura.
c) \dot Q_{\mathrm{com}}\approx4{,}93\;\mathrm{kW}.
d) T_{s,com}\approx40{,}4\;^\circ\mathrm{C}, não há risco de queimadura.

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