Uma parede plana separa um fluido quente a 80^{\circ} \mathrm{C} de um fluido frio a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficientes de convecção são \mathrm{hl}=15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} e \mathrm{h} 2=30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} . \mathrm{A} parede possui espessura 0,20 \mathrm{me} condutividade térmica 1,6 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}.
a) Monte o circuito de resistências térmicas.
b) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de área.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Temperatura do fluido quente: T_{\text{q}}=80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido frio: T_{\text{f}}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção do lado quente: h_1=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Coeficiente de convecção do lado frio: h_2=30\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Espessura da parede: L=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da parede: k=1,6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
O enunciado pede:
(a) montar o circuito de resistências térmicas;
(b) determinar a taxa de transferência de calor por unidade de área (ou seja, \dot{q}'' em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas para você usar na prova).
  • Resistência por convecção: quando o calor passa entre um fluido e uma superfície, comporta-se como uma resistência térmica dada por
R_{\text{conv}}=\frac{1}{hA},
onde h é o coeficiente de convecção ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}), A é a área de transferência ( \mathrm{m}^2) e R_{\text{conv}} tem unidade \mathrm{K}/\mathrm{W}. Explicando as variáveis: h mede a facilidade com que o fluido troca calor com a superfície; quanto maior h, menor a resistência.
  • Resistência por condução (parede plana): quando o calor atravessa uma parede plana de espessura L e condutividade k,
R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}.
Aqui k é a condutividade ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}); quanto maior k, menor a resistência.
  • Circuito térmico em série: se o calor atravessa em série várias resistências (por exemplo: convecção no lado quente, condução na parede, convecção no lado frio), as resistências se somam:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv,1}}+R_{\text{cond}}+R_{\text{conv,2}}.
  • Taxa de calor por unidade de área (fluxo de calor) quando a diferença de temperatura entre as fontes é \Delta T:
\dot{q}''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}A}.
Se trabalhamos por unidade de área (isto é, A=1\\ \mathrm{m}^2), a fórmula simplifica para
\dot{q}''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}\quad\text{(com \(A=1\\ \mathrm{m}^2\)).}
Dica prática: quando pedem “por unidade de área”, escolha A=1\\ \mathrm{m}^2 — aí as resistências ficam em \mathrm{K}/\mathrm{W} por metro quadrado e o resultado sai direto em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Montagem do circuito (resposta ao item a, mas sem finalizar o cálculo ainda).
  • Ordem do percurso do calor: fluido quente \to convecção no lado quente \to condução através da parede \to convecção no lado frio \to fluido frio.
  • Em símbolos, o circuito é:
\text{Fluido quente} \;\longrightarrow\; R_{\text{conv},1} \;\longrightarrow\; R_{\text{cond}} \;\longrightarrow\; R_{\text{conv},2} \;\longrightarrow\; \text{Fluido frio}.
Onde:
R_{\text{conv},1}=\frac{1}{h_1A},\qquad R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA},\qquad R_{\text{conv},2}=\frac{1}{h_2A}.
(Isto já responde qualitativamente o item (a): três resistências em série: convecção — condução — convecção.)

Passo 4

Cálculo numérico das resistências por unidade de área (vamos tomar A=1\\ \mathrm{m}^2).
  • Resistência de convecção do lado quente:
R_{\text{conv},1}=\frac{1}{h_1A}=\frac{1}{15\cdot 1}=\frac{1}{15}=0,066\overline{6}\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência de condução da parede:
R_{\text{cond}}=\frac{L}{kA}=\frac{0,20}{1,6\cdot 1}=\frac{0,20}{1,6}=0,125\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência de convecção do lado frio:
R_{\text{conv},2}=\frac{1}{h_2A}=\frac{1}{30\cdot 1}=\frac{1}{30}=0,033\overline{3}\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Observação prática (facilita contas): note que
\frac{1}{15}+\frac{1}{30}=\frac{2}{30}+\frac{1}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}=0,1\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Então somando:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv},1}+R_{\text{cond}}+R_{\text{conv},2}=0,1+0,125=0,225\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 5

Cálculo da taxa de transferência de calor por unidade de área (item b).
  • Diferença de temperatura entre as fontes:
\Delta T = T_{\text{q}}-T_{\text{f}}=80^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=55\\ \mathrm{K}.
(Nota: diferença em graus Celsius é numericamente igual à diferença em kelvin.)
  • Fluxo de calor por unidade de área:
\dot{q}''=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{55}{0,225}.
Para simplificar a fração: 0,225=\dfrac{9}{40}, então
\dot{q}''=\frac{55}{0,225}=\frac{55}{9/40}=55\cdot\frac{40}{9}=\frac{2200}{9}=244,4\overline{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
\dot{q}''\approx 244,44\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Resposta

(a) Circuito: \text{Fluido quente} \longrightarrow R_{\text{conv},1} \longrightarrow R_{\text{cond}} \longrightarrow R_{\text{conv},2} \longrightarrow \text{Fluido frio}.
(b) \dot{q}''\approx 244,44\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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