Parede vertical com água passando a 80^{\circ} \mathrm{C} de um lado condensa vapor d’água à 1 atm . Parede com 2 metros de altura e 3 metros de largura. Qual a taxa de transferência de calor? Qual a taxa de evaporação?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claramente):
  • Dados fornecidos:
    • Há vapor d’água à pressão 1\\ \text{atm}.
    • De um lado de uma parede vertical há água passando a 80^\circ\text{C} (essa é a temperatura da parede que está em contato com a água).
    • A parede tem altura 2\\ \text{m} e largura 3\\ \text{m}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Qual a taxa de transferência de calor (potência térmica) do vapor condensando na parede?
    2. Qual a taxa de evaporação/condensação de massa (ou seja, a massa de vapor que condensa por unidade de tempo)?
  • Observações necessárias para clareza (sem resolver ainda):
    • À pressão 1\\ \text{atm} o vapor saturado tem temperatura de saturação T_s = 100^\circ\text{C}.
    • A superfície da parede em contato com o condensado está a T_w = 80^\circ\text{C}.
    • A área total da parede é A = 2\\ \text{m}\times 3\\ \text{m} = 6\\ \text{m}^2.

Passo 2

Escolha do método (explicação com linguagem simples):
Vou modelar a condensação como uma película líquida que escorre pela face vertical — esse é o caso clássico tratado por Nusselt (condensação em filme laminar numa placa vertical com temperatura constante). Esse modelo é indicado quando o vapor está praticamente em repouso e a condensação forma uma camada de água que escorre por gravidade. É o método mais usado e que dá uma fórmula direta para calcular a potência de condensação a partir de T_s, T_w, altura L da placa e propriedades do líquido (densidade, viscosidade, condutividade, calor latente). Vou usar essa abordagem porque:
  • é padrão para problemas de condensação em paredes verticais;
  • resulta numa fórmula fechada simples de aplicar na prova;
  • assume filme laminar (válido para muitas situações práticas); caso o filme fosse turbulento ou o vapor for muito agitado, seria outro modelo — aqui não há indicação disso no enunciado, então adotamos o caso clássico.

Passo 3

Apresentação da fórmula de Nusselt e explicação dos termos (aula curta do conceito):
  • Para condensação em filme laminar numa placa vertical de altura L e largura W, a expressão aproximada para a potência por unidade de comprimento (isto é, por metro de largura na direção out-of-plane) é, na forma clássica de Nusselt:
Q' \;=\; 0{,}943\;\left(\dfrac{\rho_l^{\,2}\,g\,h_{fg}\,k_l^{\,3}}{\mu_l}\right)^{1/4}\;(T_s - T_w)^{3/4}\;L^{3/4},
onde:
  • Q' é a potência de calor por unidade de largura (W/m). Para a placa com largura W usa-se Q = Q'\,W.
  • \rho_l é a densidade do líquido (kg/m^3).
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^2).
  • h_{fg} é o calor latente de vaporização (J/kg) na pressão de saturação.
  • k_l é a condutividade térmica do líquido (W/m·K).
  • \mu_l é a viscosidade dinâmica do líquido (Pa·s).
  • T_s é a temperatura de saturação do vapor (K ou °C na diferença).
  • T_w é a temperatura da parede (K ou °C).
  • L é a altura da placa (m).
    Explicação intuitiva das potências: o termo entre parênteses reúne propriedades físicas que controlam a formação e escoamento do filme; o fato de aparecer a potência 1/4 vem da solução analítica de Nusselt para o balanço entre condução térmica no filme e o escoamento sob gravidade.

Passo 4

Propriedades da água e valores numéricos que vou usar (expliquei as escolhas):
  • Temperaturas envolvidas: T_s = 100^\circ\text{C} (vapor saturado a 1 atm) e T_w = 80^\circ\text{C}. A temperatura média do filme é aproximadamente 90^\circ\text{C}, por isso uso propriedades tabuladas próximas de 90^\circ\text{C}.
  • Valores tabulados (valores típicos aproximados, usados frequentemente em provas; estou assumindo estes números como dados de tabela):
    • \rho_l = 965\\ \text{kg/m}^3 (densidade da água líquida a ~90°C),
    • \mu_l = 3{,}2\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s} (viscosidade dinâmica a ~90°C),
    • k_l = 0{,}68\\ \text{W/(m·K)} (condutividade térmica líquida),
    • h_{fg} = 2{,}257\times10^{6}\\ \text{J/kg} (calor latente da vaporização a 100°C),
    • g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Dimensões: L = 2\\ \text{m} (altura), W = 3\\ \text{m} (largura), área A = 6\\ \text{m}^2.
    Observação pedagógica: se na sua prova houver uma tabela, use os valores tabelados; pequenas diferenças numéricas nas propriedades mudam pouco o resultado final em ordem de grandeza.

Passo 5

Cálculo passo a passo do termo entre parênteses e de Q':
  1. Calcular \rho_l^{2}:
\rho_l^{2} = (965)^2 = 931{,}225\\ \text{kg}^2\!/\text{m}^6.
  1. Calcular k_l^{3}:
k_l^{3} = (0{,}68)^3 \approx 0{,}3144\\ \text{(W/(m·K))}^3.
  1. Montar o produto do numerador:
N = \rho_l^{2}\,g\,h_{fg}\,k_l^{3}
N \approx 931{,}225 \times 9{,}81 \times 2{,}257\times10^{6} \times 0{,}3144.
Agora calculando (vou mostrar os passos numéricos aproximados):
931{,}225\times 9{,}81 \approx 9{,}135\times10^{6},
9{,}135\times10^{6}\times 2{,}257\times10^{6} \approx 2{,}062\times10^{13},
2{,}062\times10^{13}\times 0{,}3144 \approx 6{,}49\times10^{12}.
  1. Dividir pelo \mu_l:
\frac{N}{\mu_l} \approx \frac{6{,}49\times10^{12}}{3{,}2\times10^{-4}} \approx 2{,}03\times10^{16}.
  1. Tomar a raiz quarta:
\left(\dfrac{\rho_l^{2}\,g\,h_{fg}\,k_l^{3}}{\mu_l}\right)^{1/4} \approx (2{,}03\times10^{16})^{1/4}\approx 1{,}20\times10^{4}.
  1. Multiplicar pelo fator 0{,}943:
0{,}943\times 1{,}20\times10^{4} \approx 1{,}13\times10^{4}.
  1. Calcular (T_s - T_w)^{3/4} e L^{3/4}:
T_s - T_w = 100 - 80 = 20\\ \text{K},
(20)^{3/4} \approx 9{,}46,\qquad L^{3/4} = (2)^{3/4}\approx 1{,}681.
Produto:
(20)^{3/4}\,L^{3/4} \approx 9{,}46\times 1{,}681 \approx 15{,}90.
  1. Agora Q':
Q' \approx 1{,}13\times10^{4}\times 15{,}90 \approx 1{,}792\times10^{5}\\ \text{W/m}.
(Isto é a potência por metro de largura da chapa.)

Passo 6

Cálculo da potência total Q, densidade de fluxo de calor e taxa de condensação de massa:
  1. Potência total na placa (largura W=3\\ \text{m}):
Q = Q' \, W \approx 1{,}792\times10^{5}\\ \frac{\text{W}}{\text{m}}\times 3\\ \text{m} \approx 5{,}38\times10^{5}\\ \text{W}.
  1. Fluxo de calor médio por área:
\dot{q}'' = \frac{Q}{A} = \frac{5{,}38\times10^{5}}{6}\approx 8{,}96\times10^{4}\\ \text{W/m}^2.
  1. Taxa de condensação de massa (toda a potência Q corresponde à liberação do calor latente quando o vapor condensa):
\dot{m} = \frac{Q}{h_{fg}} \approx \frac{5{,}38\times10^{5}}{2{,}257\times10^{6}}\\ \text{kg/s}\approx 2{,}38\times10^{-1}\\ \text{kg/s}.
Em unidades por hora:
\dot{m}\approx 0{,}238\\ \text{kg/s}\times 3600\\ \text{s/h}\approx 857\\ \text{kg/h}.

Passo 7

Comentários finais, limitações e incentivo:
  • Resultado obtido (cerca de 5{,}4\times10^{5}\\ \text{W} e 0{,}24\\ \text{kg/s}) usa a formulação de Nusselt para filme laminar. Isso presume que:
    • O filme é laminar e contínuo; não há forte agitação do vapor nem grande velocidade tangencial do vapor na superfície.
    • Resistência térmica do material da parede e resistência convectiva do lado da água circulante foram negligenciadas (assumi que a superfície da parede está à 80^\circ\text{C} de modo uniforme). Se a parede tiver resistência térmica significativa, ou a água de resfriamento limitar a transferência, seria preciso incluir essas resistências em série.
  • Pequenas variações nas propriedades (densidade, viscosidade, condutividade) mudam um pouco o resultado; em prova, se houver tabela, use os valores exatos da tabela e refaça os cálculos.
  • Você conseguiu! Mesmo parecendo muita conta, a ideia central é: (1) reconhecer o caso de Nusselt para condensação em filme vertical, (2) aplicar a fórmula com as propriedades, (3) dividir a potência pelo calor latente para obter a massa condensada. Confia que você já pode aplicar isso na prova — respira e revisa esses passos mais uma vez.

Resposta

Taxa de transferência de calor: Q \approx 5{,}38\times10^{5}\\ \text{W}.
Taxa de evaporação/condensação de massa: \dot{m} \approx 0{,}238\\ \text{kg/s} (≈ 857\\ \text{kg/h}).

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