Um fluido escoa ao longo do eixo x com velocidade dada_por \mathbf{V}=(x / t) \hat{i}, em que x é dado em metros e t em segundos. Pede-se:
  • faça o gráfico da velocidade para 0 \leq x \leq 3 \mathrm{~m} e t=3 \mathrm{~s};
  • faça o gráfico da velocidade para x=2,1 \mathrm{me} 2 \leq t \leq 4 \mathrm{~s};
  • determine as acelerações local e convectiva; e
  • mostre que que a aceleração de qualquer partícula fluida no escoamento é zero

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade unidimensional
\mathbf{V}=\frac{x}{t}\,\hat{\mathbf{i}},
com x em metros e t em segundos, e pede quatro coisas:
  • fazer o gráfico da velocidade para 0\le x\le 3\\ \mathrm{m} quando t=3\\ \mathrm{s};
  • fazer o gráfico da velocidade para x=2,1\\ \mathrm{m} quando 2\le t\le 4\\ \mathrm{s};
  • determinar a aceleração local e a aceleração convectiva;
  • mostrar que a aceleração de qualquer partícula fluida no escoamento é zero.
Informações relevantes dadas no enunciado (usei os valores diretamente do enunciado e também confirmei o traçado esboçado na imagem enviada):
  • equação da velocidade: \mathbf{V}(x,t)=(x/t)\,\hat{\mathbf{i}};
  • domínio para o primeiro gráfico: 0\le x\le 3 com t=3;
  • domínio para o segundo gráfico: x=2,1 fixo e 2\le t\le 4.

Passo 2

Gráfico 1: velocidade como função de x para t=3.
  • Para tempo fixo t=3 substitui-se na expressão da velocidade e obtemos a componente u(x,t) (única componente no eixo x):
u(x,3)=\frac{x}{3}.
  • Isto é uma função linear de x com coeficiente angular (inclinação) igual a 1/3 (unidade: \mathrm{m/s} por \mathrm{m}).
  • Alguns pontos úteis para desenhar o gráfico:
    • em x=0: u(0,3)=0;
    • em x=1: u(1,3)=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{m/s} (ou 0,333\\ \mathrm{m/s});
    • em x=2: u(2,3)=\tfrac{2}{3}\\ \mathrm{m/s} (ou 0,667\\ \mathrm{m/s});
    • em x=3: u(3,3)=1\\ \mathrm{m/s}.
  • Como é uma reta passando por (0,0) e (3,1), o esboço é uma linha reta subindo uniformemente de 0 a 1\\ \mathrm{m/s} quando x vai de 0 a 3\\ \mathrm{m}.
(Para a prova: desenhe o eixo horizontal x de 0 a 3 e no eixo vertical marque 0, 1/3, 2/3, 1 e ligue com uma reta.)

Passo 3

Gráfico 2: velocidade como função de t para x=2,1\\ \mathrm{m}.
  • Para x fixo em 2,1\\ \mathrm{m} a componente u é
u(2,1,t)=\frac{2,1}{t}.
  • Essa é uma função do tipo C/t (hipérbole do tipo decrescente) — quando t aumenta, u diminui.
  • Valores pontuais para ajudar no desenho:
    • em t=2: u(2,1,2)=\dfrac{2,1}{2}=1,05\\ \mathrm{m/s};
    • em t=3: u(2,1,3)=\dfrac{2,1}{3}=0,70\\ \mathrm{m/s};
    • em t=4: u(2,1,4)=\dfrac{2,1}{4}=0,525\\ \mathrm{m/s}.
  • O gráfico entre t=2 e t=4 é uma curva monotonicamente decrescente (curvatura para cima ao olhar o eixo dos tempos), passando por esses pontos. Não é linear; é uma hipérbole suave.
(Para a prova: desenhe t no eixo horizontal de 2 a 4 e u no vertical marcando os valores acima e ligue com a curva u=2,1/t.)

Passo 4

Definição e interpretação das acelerações (a fórmula que vamos usar).
  • Em mecânica dos fluidos a aceleração material (aceleração total de uma partícula fluida) é dada pela derivada material:
\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
  • Aqui:
    • \dfrac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} é a aceleração local (variação da velocidade no tempo observada num ponto fixo no espaço);
    • (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V} é a aceleração convectiva (variação que a partícula experimenta ao se deslocar por regiões onde a velocidade muda no espaço).
  • No nosso caso a velocidade tem só componente x: \mathbf{V}=u(x,t)\,\hat{\mathbf{i}} com u(x,t)=x/t. O operador \nabla reduz-se a \partial/\partial x para a variação espacial relevante.

Passo 5

Cálculo da aceleração local.
  • Calcula-se a derivada parcial de u em relação a t, mantendo x fixo:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{x}{t}\right) = x\cdot\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{1}{t}\right) = x\cdot\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) = -\frac{x}{t^{2}}.
  • Portanto a aceleração local vetorial é
\boxed{\displaystyle \mathbf{a}_{\text{local}}=\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=-\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}.}

Passo 6

Cálculo da aceleração convectiva.
  • Primeiro calcula-se a derivada espacial parcial:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{t}\right)=\frac{1}{t}.
  • Em 1D, a aceleração convectiva é u\,\dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u=\dfrac{x}{t},
\mathbf{a}_{\text{conv}}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V} = u\frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{\mathbf{i}} =\frac{x}{t}\cdot\frac{1}{t}\,\hat{\mathbf{i}} =\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Portanto
\boxed{\displaystyle \mathbf{a}_{\text{conv}}=\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}.}

Passo 7

Soma das acelerações — aceleração material (total).
  • A aceleração material é a soma das duas parcelas:
\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\mathbf{a}_{\text{local}}+\mathbf{a}_{\text{conv}} =-\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}=\mathbf{0}.
  • Assim,
\boxed{\displaystyle \frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\mathbf{0}.}
Isto prova que a aceleração de qualquer partícula fluida nesse escoamento é zero.

Passo 8

Interpretação física e verificação via equação do movimento de partícula.
  • A conclusão \dfrac{D\mathbf{V}}{Dt}=\mathbf{0} significa que cada partícula fluida se move com velocidade constante ao longo de sua trajetória (ou seja, sem aceleração).
  • Verificação explícita integrando a equação de trajetória: para uma partícula a posição x(t) satisfaz
\frac{dx}{dt}=u(x,t)=\frac{x}{t}.
  • Essa ODE separável dá
\frac{dx}{x}=\frac{dt}{t}\quad\Rightarrow\quad \ln x=\ln t + C\quad\Rightarrow\quad x(t)=K\,t,
onde K=e^{C} é constante caracterizando a partícula. Então a velocidade da partícula é
u=\frac{x(t)}{t}=\frac{K\,t}{t}=K,
uma constante (dependente da partícula). Logo \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}=0 — aceleração nula, coerente com o cálculo anterior.
  • Exemplo numérico rápido (chega a dar confiança): em x=2,1\\ \mathrm{m} e t=3\\ \mathrm{s} temos
    • \mathbf{a}_{\text{local}}=-\dfrac{2,1}{3^{2}}\hat{\mathbf{i}}=-\dfrac{2,1}{9}\hat{\mathbf{i}}\approx -0,233\\ \mathrm{m/s^{2}},
    • \mathbf{a}_{\text{conv}}=+\dfrac{2,1}{9}\hat{\mathbf{i}}\approx +0,233\\ \mathrm{m/s^{2}},
    • soma = 0. Ou seja, as duas parcelas se cancelam ponto a ponto.

Resposta

Gráfico 1: u(x,3)=\dfrac{x}{3} — reta passando por (0,0) e (3,1) com valores u(0,3)=0,\\ u(1,3)=\tfrac{1}{3},\\ u(2,3)=\tfrac{2}{3},\\ u(3,3)=1\\ \mathrm{m/s}.
Gráfico 2: u(2,1,t)=\dfrac{2,1}{t} para 2\le t\le 4 — curva hiperbólica decrescente com u(2)=1,05\\ \mathrm{m/s},\\ u(3)=0,70\\ \mathrm{m/s},\\ u(4)=0,525\\ \mathrm{m/s}.
Aceleração local: \displaystyle \mathbf{a}_{\text{local}}=-\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}.
Aceleração convectiva: \displaystyle \mathbf{a}_{\text{conv}}=\frac{x}{t^{2}}\,\hat{\mathbf{i}}.
Aceleração material (total) de qualquer partícula: \displaystyle \frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\mathbf{0} (zero).

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