Um fluido escoa ao longo do eixo
com velocidade dada_por
, em que
é dado em metros e
em segundos. Pede-se:
- faça o gráfico da velocidade para
e
;
- faça o gráfico da velocidade para
;
- determine as acelerações local e convectiva; e
- mostre que que a aceleração de qualquer partícula fluida no escoamento é zero
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade unidimensional
com
em metros e
em segundos, e pede quatro coisas:
- fazer o gráfico da velocidade para
quando ; - fazer o gráfico da velocidade para
quando ; - determinar a aceleração local e a aceleração convectiva;
- mostrar que a aceleração de qualquer partícula fluida no escoamento é zero.
Informações relevantes dadas no enunciado (usei os valores diretamente do enunciado e também confirmei o traçado esboçado na imagem enviada):
- equação da velocidade:
; - domínio para o primeiro gráfico:
com ; - domínio para o segundo gráfico:
fixo e .
Passo 2
Gráfico 1: velocidade como função de
para
.
- Para tempo fixo
substitui-se na expressão da velocidade e obtemos a componente (única componente no eixo ):
- Isto é uma função linear de
com coeficiente angular (inclinação) igual a (unidade: por ). - Alguns pontos úteis para desenhar o gráfico:
- em
: ; - em
: (ou ); - em
: (ou ); - em
: .
- em
- Como é uma reta passando por
e , o esboço é uma linha reta subindo uniformemente de a quando vai de a .
(Para a prova: desenhe o eixo horizontal
de
a
e no eixo vertical marque
,
,
,
e ligue com uma reta.)
Passo 3
Gráfico 2: velocidade como função de
para
.
- Para
fixo em a componente é
- Essa é uma função do tipo
(hipérbole do tipo decrescente) — quando aumenta, diminui. - Valores pontuais para ajudar no desenho:
- em
: ; - em
: ; - em
: .
- em
- O gráfico entre
e é uma curva monotonicamente decrescente (curvatura para cima ao olhar o eixo dos tempos), passando por esses pontos. Não é linear; é uma hipérbole suave.
(Para a prova: desenhe
no eixo horizontal de
a
e
no vertical marcando os valores acima e ligue com a curva
.)
Passo 4
Definição e interpretação das acelerações (a fórmula que vamos usar).
- Em mecânica dos fluidos a aceleração material (aceleração total de uma partícula fluida) é dada pela derivada material:
- Aqui:
-
é a aceleração local (variação da velocidade no tempo observada num ponto fixo no espaço); -
é a aceleração convectiva (variação que a partícula experimenta ao se deslocar por regiões onde a velocidade muda no espaço).
-
- No nosso caso a velocidade tem só componente
: com . O operador reduz-se a para a variação espacial relevante.
Passo 5
Cálculo da aceleração local.
- Calcula-se a derivada parcial de
em relação a , mantendo fixo:
- Portanto a aceleração local vetorial é
Passo 6
Cálculo da aceleração convectiva.
- Primeiro calcula-se a derivada espacial parcial:
- Em 1D, a aceleração convectiva é
. Como ,
- Portanto
Passo 7
Soma das acelerações — aceleração material (total).
- A aceleração material é a soma das duas parcelas:
- Assim,
Isto prova que a aceleração de qualquer partícula fluida nesse escoamento é zero.
Passo 8
Interpretação física e verificação via equação do movimento de partícula.
- A conclusão
significa que cada partícula fluida se move com velocidade constante ao longo de sua trajetória (ou seja, sem aceleração). - Verificação explícita integrando a equação de trajetória: para uma partícula a posição
satisfaz
- Essa ODE separável dá
onde
é constante caracterizando a partícula. Então a velocidade da partícula é
uma constante (dependente da partícula). Logo
— aceleração nula, coerente com o cálculo anterior.
- Exemplo numérico rápido (chega a dar confiança): em
e temos -
, -
, - soma =
. Ou seja, as duas parcelas se cancelam ponto a ponto.
-
Resposta
Gráfico 1:
— reta passando por
e
com valores
Gráfico 2: para
— curva hiperbólica decrescente com
Aceleração local:
Aceleração convectiva:
Aceleração material (total) de qualquer partícula: (zero).
Gráfico 2:
Aceleração local:
Aceleração convectiva:
Aceleração material (total) de qualquer partícula: