Para um campo de escoamento com componentes de velocidade u=c\left(x^{2}-y^{2}\right) e v=-2 c x y, em que c é uma constante, pede-se;
determine os componentes x e y da aceleração do escoamento;
para o caso de c>0, a partícula no ponto x=x_{0}>0 e y=0 está acelerando ou desacelerando?
refazer o item anterior considerando que \overline{x_{0}}<0.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
Campo de velocidades bidimensional com componentes u = c\left(x^{2}-y^{2}\right) e v = -2cxy, onde c é uma constante.
Pede-se três coisas:
Determinar os componentes x e y da aceleração do escoamento (ou seja, a_x e a_y).
Para c>0, considerar uma partícula no ponto \;x=x_{0}>0,\;y=0\;: dizer se ela está acelerando ou desacelerando.
Repetir o item anterior para \;x=x_{0}<0,\;y=0.
Passo 2
Explicar a fórmula que vamos usar e por quê (aula rápida e prática).
Em mecânica dos fluidos, a aceleração material de uma partícula fluida é a derivada total da velocidade seguindo a partícula. Para um campo de velocidade (u(x,y,t),v(x,y,t)) vale
Portanto a velocidade é \mathbf{v}=(c x_0^2,0). Note que, para c>0, c x_0^2>0 independentemente do sinal de x_0: a partícula sempre tem velocidade dirigida para +x.
A aceleração no ponto (x_0,0) é, usando as fórmulas do Passo 4,
Para decidir se a partícula está acelerando (velocidade escalar aumentando) ou desacelerando (velocidade escalar diminuindo), olhamos à componente da aceleração ao longo da direção da velocidade. Como aqui a velocidade está puramente em x, basta verificar o sinal de a_x em relação ao sinal de u. Uma forma mais geral é usar
No nosso caso \mathbf{v}=(u,0) e \mathbf{a}=(a_x,0), então \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=u\,a_x.
Caso x_0>0 e c>0:u = c x_0^2>0,\qquad a_x = 2c^2 x_0^3>0,logo u\,a_x>0. Assim \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}>0, o que significa que o módulo da velocidade está aumentando: a partícula está acelerando (a velocidade em +x fica maior).
Caso x_0<0 e c>0:u = c x_0^2>0,\qquad a_x = 2c^2 x_0^3<0,pois x_0^3 é negativo quando x_0<0. Então u\,a_x<0, i.e. \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}<0, o que significa que o módulo da velocidade está diminuindo: a partícula está desacelerando (mesmo tendo velocidade apontando para +x, a aceleração aponta para -x, reduzindo a rapidez).
Resposta
a_x = 2c^{2}x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) a_y = 2c^{2}y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
Para c>0 e x_{0}>0,\;y=0: a partícula está acelerando.
Para c>0 e x_{0}<0,\;y=0: a partícula está desacelerando.