Para um campo de escoamento com componentes de velocidade u=c\left(x^{2}-y^{2}\right) e v=-2 c x y, em que c é uma constante, pede-se;
  • determine os componentes x e y da aceleração do escoamento;
  • para o caso de c>0, a partícula no ponto x=x_{0}>0 e y=0 está acelerando ou desacelerando?
  • refazer o item anterior considerando que \overline{x_{0}}<0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Campo de velocidades bidimensional com componentes
    u = c\left(x^{2}-y^{2}\right) e v = -2cxy, onde c é uma constante.
  • Pede-se três coisas:
    1. Determinar os componentes x e y da aceleração do escoamento (ou seja, a_x e a_y).
    2. Para c>0, considerar uma partícula no ponto \;x=x_{0}>0,\;y=0\;: dizer se ela está acelerando ou desacelerando.
    3. Repetir o item anterior para \;x=x_{0}<0,\;y=0.

Passo 2

Explicar a fórmula que vamos usar e por quê (aula rápida e prática).
  • Em mecânica dos fluidos, a aceleração material de uma partícula fluida é a derivada total da velocidade seguindo a partícula. Para um campo de velocidade (u(x,y,t),v(x,y,t)) vale
\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \left(\frac{Du}{Dt},\;\frac{Dv}{Dt}\right).
  • A derivada material tem a forma
\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y}.
  • No nosso caso o campo não depende do tempo explicitamente (não há t nas expressões), logo \partial/\partial t = 0 e as componentes da aceleração ficam
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad a_y = u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Vamos calcular as derivadas parciais necessárias de u e v. Escrevendo novamente para referência:
u = c(x^2-y^2),\qquad v = -2cxy.
Calculemos cada parcial passo a passo:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2cx, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -2cy,
\frac{\partial v}{\partial x} = -2c y, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = -2c x.
(Expliquei cada derivada: por exemplo, \partial u/\partial x trata y como constante, derivada de x^2 é 2x, e o fator c fica multiplicando.)

Passo 3

Agora substituímos essas derivadas na expressão da aceleração e simplificamos passo a passo para a_x.
  • Começando por
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo u, \partial u/\partial x, v, \partial u/\partial y:
a_x = \bigl(c(x^2-y^2)\bigr)\cdot(2cx) \;+\; \bigl(-2cxy\bigr)\cdot(-2c y).
Calcule cada termo separadamente:
\bigl(c(x^2-y^2)\bigr)\cdot(2cx) = 2c^2 x (x^2-y^2),
\bigl(-2cxy\bigr)\cdot(-2c y) = 4c^2 x y^2.
Somando os dois termos:
a_x = 2c^2 x (x^2-y^2) + 4c^2 x y^2.
Fatorando 2c^2 x:
a_x = 2c^2 x\bigl((x^2-y^2)+2y^2\bigr) = 2c^2 x (x^2 + y^2).

Passo 4

Agora calculamos a_y com o mesmo cuidado.
  • Partimos de
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
a_y = \bigl(c(x^2-y^2)\bigr)\cdot(-2c y) \;+\; \bigl(-2cxy\bigr)\cdot(-2c x).
Calcule cada termo:
\bigl(c(x^2-y^2)\bigr)\cdot(-2c y) = -2c^2 y (x^2-y^2),
\bigl(-2cxy\bigr)\cdot(-2c x) = 4c^2 x^2 y.
Somando:
a_y = -2c^2 y (x^2-y^2) + 4c^2 x^2 y.
Agrupando termos em y:
a_y = 2c^2 y\bigl(- (x^2-y^2) + 2x^2\bigr) = 2c^2 y\bigl(-x^2 + y^2 + 2x^2\bigr) = 2c^2 y (x^2 + y^2).
  • Resultado compacto: as componentes ficam
a_x = 2c^2 x (x^2 + y^2),\qquad a_y = 2c^2 y (x^2 + y^2).
Ou, em forma vetorial,
\mathbf{a} = 2c^2 (x^2+y^2)\,(x,y).
(Isto mostra que a aceleração aponta radialmente — proporcional ao vetor posição (x,y) — e tem magnitude proporcional a (x^2+y^2)^{3/2}.)

Passo 5

Análise do comportamento da partícula sobre o eixo y=0 para c>0.
  • Primeiro, calculemos a velocidade no ponto (x_0,0) com x_0\neq0:
u(x_0,0) = c(x_0^2-0)=c x_0^2,\qquad v(x_0,0)= -2c x_0\cdot 0=0.
Portanto a velocidade é \mathbf{v}=(c x_0^2,0). Note que, para c>0, c x_0^2>0 independentemente do sinal de x_0: a partícula sempre tem velocidade dirigida para +x.
  • A aceleração no ponto (x_0,0) é, usando as fórmulas do Passo 4,
a_x(x_0,0) = 2c^2 x_0(x_0^2+0)=2c^2 x_0^3,\qquad a_y(x_0,0)=0.
  • Para decidir se a partícula está acelerando (velocidade escalar aumentando) ou desacelerando (velocidade escalar diminuindo), olhamos à componente da aceleração ao longo da direção da velocidade. Como aqui a velocidade está puramente em x, basta verificar o sinal de a_x em relação ao sinal de u. Uma forma mais geral é usar
\frac{D|\mathbf{v}|}{Dt} = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}.
No nosso caso \mathbf{v}=(u,0) e \mathbf{a}=(a_x,0), então \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=u\,a_x.
  • Caso x_0>0 e c>0: u = c x_0^2>0,\qquad a_x = 2c^2 x_0^3>0,logo u\,a_x>0. Assim \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}>0, o que significa que o módulo da velocidade está aumentando: a partícula está acelerando (a velocidade em +x fica maior).
  • Caso x_0<0 e c>0: u = c x_0^2>0,\qquad a_x = 2c^2 x_0^3<0,pois x_0^3 é negativo quando x_0<0. Então u\,a_x<0, i.e. \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}<0, o que significa que o módulo da velocidade está diminuindo: a partícula está desacelerando (mesmo tendo velocidade apontando para +x, a aceleração aponta para -x, reduzindo a rapidez).

Resposta

a_x = 2c^{2}x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
a_y = 2c^{2}y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
Para c>0 e x_{0}>0,\;y=0: a partícula está acelerando.
Para c>0 e x_{0}<0,\;y=0: a partícula está desacelerando.

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