As paredes de um grande sino, após uma badalada, vibram e emitem uma energia total (
) que varia em função do tempo. Na tabela abaixo estão listados alguns valores medidos de energia total e tempo.
Tabela 1 - Medidas experimentais da energia em Joules (
) e tempo em segundos (s).
Tabela 1 - Medidas experimentais da energia em Joules (
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0,015000 | 0,005930 | 0,002340 | 0,000916 | 0,000360 |
---|---|---|---|---|---|
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4,00 | 6,00 | 8,00 | 10,00 | 12,00 |
Teoricamente, espera-se que a equação que relaciona a energia total emitida no tempo seja dada pela expressão:
Onde
é a energia inicial para
e
é a constante de tempo.
Calcule a constante de tempo utilizando a regressão linear.
Calcule a constante de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a energia total emitida pelas paredes de um sino ao longo do tempo. A gente tem uma tabela com valores de energia (
) em Joules e o tempo (
) em segundos. A teoria diz que a relação entre energia e tempo é exponencial:
. Nosso objetivo é encontrar a constante de tempo (
) usando regressão linear. Para isso, precisamos transformar essa equação exponencial em uma forma linear que a gente consiga trabalhar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação exponencial em linear. Se tirarmos o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos:
Essa equação está na forma
, onde
,
, a inclinação
e a interceptação
. Com isso, podemos fazer uma regressão linear dos valores de
e
.
Passo 3
Vamos calcular o logaritmo natural dos valores de energia da tabela:
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0,015000 | 0,005930 | 0,002340 | 0,000916 | 0,000360 |
---|---|---|---|---|---|
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4,00 | 6,00 | 8,00 | 10,00 | 12,00 |
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-4,1997 | -5,1252 | -6,0555 | -7,0 | -7,9279 |
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da regressão linear para encontrar a inclinação (
):
Onde
é o número de pontos (no caso, 5). Vamos calcular cada parte:
Plugando esses valores na fórmula:
Passo 5
Sabemos que a inclinação
, então:
Resposta
A constante de tempo
é aproximadamente 2,165 segundos.