As paredes de um grande sino, após uma badalada, vibram e emitem uma energia total ( E) que varia em função do tempo. Na tabela abaixo estão listados alguns valores medidos de energia total e tempo.
Tabela 1 - Medidas experimentais da energia em Joules ( J) e tempo em segundos (s).
E(J) 0,015000 0,005930 0,002340 0,000916 0,000360
t(s) 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Teoricamente, espera-se que a equação que relaciona a energia total emitida no tempo seja dada pela expressão:
E=E0 e^-(ttc)
Onde Eo é a energia inicial para t=0 e tc é a constante de tempo.
Calcule a constante de tempo tc utilizando a regressão linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a energia total emitida pelas paredes de um sino ao longo do tempo. A gente tem uma tabela com valores de energia ( E) em Joules e o tempo ( t) em segundos. A teoria diz que a relação entre energia e tempo é exponencial: E = E0 e^-(ttc). Nosso objetivo é encontrar a constante de tempo ( tc) usando regressão linear. Para isso, precisamos transformar essa equação exponencial em uma forma linear que a gente consiga trabalhar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação exponencial em linear. Se tirarmos o logaritmo natural de ambos os lados da equação, temos:
ln(E) = ln(E0) - ttc
Essa equação está na forma y = mx + b, onde y = ln(E), x = t, a inclinação m = -1tc e a interceptação b = ln(E0). Com isso, podemos fazer uma regressão linear dos valores de t e ln(E).

Passo 3

Vamos calcular o logaritmo natural dos valores de energia da tabela:
E (J) 0,015000 0,005930 0,002340 0,000916 0,000360
t (s) 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
ln(E) -4,1997 -5,1252 -6,0555 -7,0 -7,9279

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da regressão linear para encontrar a inclinação ( m):
m = N sum (t cdot ln(E)) - sum t cdot sum ln(E)N sum t^2 - (sum t)^2
Onde N é o número de pontos (no caso, 5). Vamos calcular cada parte:
  • sum t = 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40
  • sum ln(E) approx -4,1997 -5,1252 -6,0555 -7,0 -7,9279 approx -30,207
  • sum (t cdot ln(E)) approx (4 times -4,1997) + (6 times -5,1252) + (8 times -6,0555) + (10 times -7,0) + (12 times -7,9279) approx -260,128
  • sum t^2 = 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2 + 12^2 = 16 + 36 + 64 + 100 + 144 = 360
Plugando esses valores na fórmula:
m = 5 times (-260,128) - 40 times (-30,207)5 times 360 - 40^2 = -1300,64 + 1208,281800 - 1600 = -92,36200 = -0,4618

Passo 5

Sabemos que a inclinação m = -1tc, então:
-1tc = -0,4618 1tc = 0,4618 tc = 10,4618 approx 2,165 , segundos

Resposta

A constante de tempo tc é aproximadamente 2,165 segundos.

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