Em um parque de diversões um balanço, com uma criança na cadeira, é deslocado até uma altura de 1,00 \mathrm{~m} em relação à posição mais baixa, mantendo-se a corda esticada.
A) sendo o atrito e a força de resistência do ar desprezíveis, se a cadeira for abandonada:
A.1) qual será a velocidade da criança na posição mais baixa.
A.2) Qual será a altura máxima atingida no lado oposto?
B) Se a cadeira por empurrada com velocidade de 1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e se houver dissipação de 15 \% da energia:
B.1) qual será a velocidade na posição mais baixa?
B.2) Qual será a altura máxima atingida, se também houver dissipação de 15 \% de energia entre a posição de altura mínima e a posição de altura máxima?

Passo 1

O enunciado descreve um balanço que parte de repouso a uma altura inicial de h=1,00\\ \mathrm{m} acima da posição mais baixa. O conteúdo é conservação de energia mecânica, considerando em A) ausência de dissipação e em B) perdas de energia de 15\% em dois trechos.

Passo 2

Para A.1, como não há atrito nem resistência do ar, toda a energia potencial mgh no ponto mais alto converte-se em energia cinética \tfrac12 mv^2 no ponto mais baixo. Logo,
\frac12 m v^2 = m g h v = \sqrt{2 g h} Substituindo g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e h=1,00\\ \mathrm{m}:
v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 1,00} = \sqrt{19,6} = 4,43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para A.2, em ausência de perdas a energia cinética no ponto mais baixo reconverte-se totalmente em potencial no lado oposto, atingindo a mesma altura inicial. Portanto,
h_{\max} = 1,00\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Em B.1, a cadeira recebe um empuxo inicial de v_0=1,00\\ \mathrm{m/s} na altura h=1,00\\ \mathrm{m}, somando energia cinética a mgh. A energia total inicial é
E_i = m g h + \tfrac12 m v_0^2.
Ao descer, perde-se 15\% dessa energia, ficando 85\% para converter em cinética no ponto mais baixo:
E_{\rm bot} = 0{,}85\,E_i = \tfrac12 m v^2 \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{2\cdot 0{,}85\Bigl(g h + \tfrac{v_0^2}{2}\Bigr)}.
Substituindo g=9,8, h=1,00, v_0=1,00:
v = \sqrt{2\cdot 0{,}85\cdot (9,8 + 0,50)} = \sqrt{17,51} \approx 4,18\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Em B.2, na subida ao lado oposto ocorre nova dissipação de 15\% da energia cinética disponível no fundo. Assim, apenas 85\% de E_{\rm bot} vira energia potencial m g h_{\max}:
m g h_{\max} = 0{,}85\,E_{\rm bot} = 0{,}85^2\,E_i \;\Longrightarrow\; h_{\max} = \frac{0{,}85^2\,(g h + \tfrac{v_0^2}{2})}{g}.
Numericamente,
h_{\max} = \frac{0{,}7225 \cdot 10,30}{9,8} = \frac{7,44175}{9,8} \approx 0,76\\ \mathrm{m}.

Resposta

A.1) 4,43\\ \mathrm{m/s}
A.2) 1,00\\ \mathrm{m}
B.1) 4,18\\ \mathrm{m/s}
B.2) 0,76\\ \mathrm{m}

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