CV=(partial Upartial T)V e CP=(partial Hpartial T)P
entretanto, para sólidos, não iremos fazer essa diferenciação. Isso, porque CP cong CV para sólidos, o que não ocorre no caso de gases e líquidos.
Para testarmos a lei de Dulong-Petit, vamos recorrer a uma função que determine a energia total de um sólido. Sabemos que a energia total deve ser a soma de todas as energias dentro do sólido e, portanto, podemos equacioná-la como a somatória dos níveis de energia da matéria. Para um sólido, Einstein considerou que toda a matéria é feita de osciladores harmônicos independentes. A soma dessas energias em n átomos, será:
E=hbar v(nb+12)
em que,
nb=1e^(beta hbar v)-1
para beta=1 / kb T. Nesta equação, kB é a constante de Boltzmann, T é a temperatura em Kelvin, hbar é constante de Planck reduzida (h / 2 pi=hbar).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A gente tem a definição de capacidade térmica a volume constante
CV=l(partial Upartial Tr)V
e para sólidos vale Erm osc=hbar nul(nb+tfrac12r), nb=1e^betahbarnu-1,;beta=1kB T . O modelo de Einstein diz que um sólido de átomos comporta-se como osciladores harmônicos independentes, cada um com energia média
Conteúdo: física estatística/termodinâmica de sólidos (modelo de Einstein).
O que vamos precisar:
  1. juntar a energia de todos os osciladores,
  2. usar ,
  3. saber derivar funções exponenciais (regra da cadeia),
  4. fazer limite de alta temperatura para comparar com Dulong–Petit.

Passo 2

Primeiro, achar a energia interna total U(T)=3N,Erm osc =3N,hbarnul(nb+tfrac12r) =3N,hbarnul(1e^betahbarnu-1+tfrac12r) . Como são osciladores iguais,
Perceba que o termo “ ” é a energia de ponto zero, que não depende de , então ao derivar em relação a vai anular.

Passo 3

Agora aplicamos
CV=dUdT =3N,hbarnu;ddTl(1e^betahbarnu-1r)
Definindo dnbdT =dnbdbeta,dbetadT , usamos regra da cadeia:
dbetadT=-1kB T^2
Como dnbdbeta =ddbetal(e^betahbarnu-1r)^-1 =-,(e^betahbarnu-1)^-2,l(hbarnu,e^betahbarnur) ,
dnbdT =-hbarnu,e^betahbarnu(e^betahbarnu-1)^2 ;times; l(-1kB T^2r) =hbarnukB T^2; e^betahbarnu(e^betahbarnu-1)^2
E
CV =3N,hbarnu;hbarnukB T^2; e^betahbarnu(e^betahbarnu-1)^2 =3N kB; underbracel(hbarnukB Tr)^!2 e^hbarnu/(kB T)(e^hbarnu/(kB T)-1)^2F(T)
Juntando:
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Passo 4

Agora vemos o limite de alta temperatura, F(T)=x^2e^x(e^x-1)^2approxx^2(1+x)(x)^2 approx1 . Defina CV;=;3N kB;(,F(T)to1,) ;longrightarrow;3N kB, . Então
,
Portanto, no limite
que é exatamente a lei de Dulong–Petit (para um mol : ).

Resposta

A capacidade térmica do sólido no modelo de Einstein é
boxed CV =3N kB, l(tfrachbarnukB Tr)^!2 e^hbarnu/(kB T)l(e^hbarnu/(kB T)-1r)^2
e, no limite de alta temperatura CVapprox3N kB, , ela tende a
confirmando a lei de Dulong–Petit.

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