entretanto, para sólidos, não iremos fazer essa diferenciação. Isso, porque para sólidos, o que não ocorre no caso de gases e líquidos.
Para testarmos a lei de Dulong-Petit, vamos recorrer a uma função que determine a energia total de um sólido. Sabemos que a energia total deve ser a soma de todas as energias dentro do sólido e, portanto, podemos equacioná-la como a somatória dos níveis de energia da matéria. Para um sólido, Einstein considerou que toda a matéria é feita de osciladores harmônicos independentes. A soma dessas energias em átomos, será:
em que,
para . Nesta equação, é a constante de Boltzmann, é a temperatura em Kelvin, é constante de Planck reduzida .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. A gente tem a definição de capacidade térmica a volume constante
e para sólidos vale . O modelo de Einstein diz que um sólido de átomos comporta-se como osciladores harmônicos independentes, cada um com energia média
Conteúdo: física estatística/termodinâmica de sólidos (modelo de Einstein).
O que vamos precisar:
juntar a energia de todos os osciladores,
usar ,
saber derivar funções exponenciais (regra da cadeia),
fazer limite de alta temperatura para comparar com Dulong–Petit.
Passo 2
Primeiro, achar a energia interna total . Como são osciladores iguais,
Perceba que o termo “” é a energia de ponto zero, que não depende de , então ao derivar em relação a vai anular.
Passo 3
Agora aplicamos
Definindo , usamos regra da cadeia:
Como ,
E
Juntando:
Logo
Passo 4
Agora vemos o limite de alta temperatura, F(T)=x^2e^x(e^x-1)^2approxx^2(1+x)(x)^2 approx1 . Defina CV;=;3N kB;(,F(T)to1,) ;longrightarrow;3N kB, . Então ,
Portanto, no limite
que é exatamente a lei de Dulong–Petit (para um mol : ).
Resposta
A capacidade térmica do sólido no modelo de Einstein é