Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
a) 
b) 
c) 
Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
a)
b)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação de onda dada por:
Nosso objetivo é mostrar que as funções fornecidas nos itens a), b) e c) satisfazem essa equação. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de 
Passo 2
Vamos começar com a função do item a):
Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial de 
Em seguida, a segunda derivada parcial de 
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação ao tempo 
Passo 4
Substituindo as derivadas na equação de onda:
Como as duas expressões são iguais, a função do item a) é uma solução da equação de onda.
Passo 5
Repitamos o mesmo processo para a função do item b):
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de 
Substituindo na equação de onda:
Como ambas as expressões são iguais, a função do item b) também é uma solução da equação de onda.
Passo 6
Por fim, analisamos a função do item c):
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a 
Para o primeiro termo 
Para o segundo termo 
Somando as derivadas:
Como as duas expressões são iguais, a função do item c) também satisfaz a equação de onda.
Resposta
Todas as funções dos itens a), b) e c) são soluções da equação de onda dada.
