Uma partícula de 10 g executa um MHS com uma amplitude de 2,0 mm, uma aceleração máxima de módulo 8,0 times 10^3 m / s^2 e uma constante de fase desconhecida varphi. Determine (a) o período do movimento; (b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia mecânica total do oscilador. (d)Qual é o módulo da força que age sobre a partícula no ponto no qual o deslocamento é máximo? (e) Qual é o módulo da força que age sobre a partícula no ponto no qual deslocamento é metade do deslocamento máximo?

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) em que uma partícula de massa m=10 g=0,01 kg oscila com amplitude A=2,0 mm=2,0times10^-3 m e aceleração máxima ,amax=8,0times10^3 m/s^2. Vamos usar as relações do MHS:
x(t)=Acos(omega t+varphi), a(t)=-omega^2x(t),
além das fórmulas para período, velocidade máxima, energia e força de restituição.

Passo 2

A maior aceleração ocorre em vert xvert=A, logo
amax=omega^2A
Dessa igualdade isolamos omega:
omega=raizamaxA =raiz8,0times10^32,0times10^-3 =raiz4,0times10^6 =2,0times10^3 rad/s

Passo 3

Com omega em mãos, o período é
T=2piomega =2pi2,0times10^3 =pi10^3 approx3,14times10^-3 s
A velocidade máxima ocorre em x=0 e vale
vmax=omega A =(2,0times10^3)(2,0times10^-3) =4,0 m/s

Passo 4

A energia mecânica total do oscilador é
E=tfrac12,m,vmax^2 =tfrac12,(0,01),(4,0)^2 =0,080 J

Passo 5

A força elástica (restauradora) no MHS é
F=-m,omega^2,x,
portanto o módulo é
lvert Frvert =m,omega^2,lvert xrvert

Passo 6

No ponto de deslocamento máximo lvert xrvert=A:
lvert F1rvert =m,omega^2,A =m,amax =(0,01)(8,0times10^3) =80 N
No ponto em que lvert xrvert=tfrac12A:
lvert F2rvert =m,omega^2,A2 =802 =40 N

Resposta

(a) T=dfracpi10^3approx3,14times10^-3 s
(b) vmax=4,0 m/s
(c) E=0,080 J
(d) lvert Frvertx=A=80 N
(e) lvert Frvertx=A/2=40 N

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