Uma partícula alfa (dois prótons e dois nêutrons) se aproxima de um átomo de ouro estacionário ( 79 prótons e 118 nêutrons), passando pela nuvem de elétrons e rumando diretamente para o núcleo (Figura 15). A partícula alfa diminui de velocidade até parar e inverte o movimento quando está a uma distância r=9,23 f \mathrm{~m} do centro do núcleo de ouro. (Como a massa do núcleo de ouro é muito maior que a da partícula alfa, podemos supor que o núcleo de ouro se mantém imóvel durante o processo.)
Qual era a energia cinética K_{i} da partícula alfa quando estava a uma distância muito grande (e, portanto, do lado de fora) do átomo de ouro? Suponha que a única força entre a partícula alfa e o núcleo de ouro é a força eletrostática.
Fonte: Exemplo 24-7 do cap. 24 da referência 1.

Passo 1

O enunciado pede: qual era a energia cinética \,K_i, da partícula alfa quando ela estava a uma distância muito grande (ou seja, “infinita”) do átomo de ouro, sabendo que ela foi detida e voltou ao atingir a distância \,r=9,23\\ \mathrm{fm} do centro do núcleo de ouro.
Informações dadas (tudo listado claramente):
  • Distância de retorno (ponto de maior aproximação): \,r=9,23\\ \mathrm{fm}=9,23\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
  • Núcleo de ouro tem carga positiva correspondente a \,Z_{\mathrm{Au}}=79 prótons.
  • Partícula alfa tem carga positiva correspondente a \,Z_{\alpha}=2 prótons (dois prótons e dois nêutrons, mas apenas a carga importa aqui).
  • Suponha que a única interação importante é a força eletrostática entre cargas (não há perda de energia por outros meios).
    O que se pede: calcular \,K_i numérico (expressei em unidades usuais: MeV e J).

Passo 2

Princípio físico usado (explicado passo a passo e de forma intuitiva): conservação da energia mecânica.
Quando a partícula vem de muito longe ela tem energia potencial elétrica praticamente zero (campo decai com distância); toda sua energia mecânica inicial é cinética \,K_i. Ao se aproximar, o campo elétrico do núcleo retarda a partícula convertendo a energia cinética em energia potencial eletrostática. No ponto de maior aproximação a velocidade vira zero, logo a energia cinética final é zero e a energia potencial elétrica é máxima. Pela conservação da energia:
K_i + U(\infty) = K_f + U(r).
Aqui U(\infty)\approx 0 e K_f=0 (a partícula para momentaneamente no ponto de retorno), portanto
K_i = U(r).
Ou seja: a energia cinética inicial é numericamente igual à energia potencial elétrica da interação no ponto de maior aproximação.

Passo 3

Fórmula da energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes e significado das variáveis (aula rápida):
A energia potencial eletrostática entre duas cargas q_1 e q_2 separadas por uma distância r é dada por
U(r)=\dfrac{k\,q_1 q_2}{r},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (no SI k\approx 8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}});
  • q_1 e q_2 são as cargas elétricas em coulombs;
  • r é a separação em metros;
    Unidade de U é joule (J). Para converter J em eletrón-volts usamos 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{MeV}=10^{6}\\ \mathrm{eV}.
No nosso caso as cargas são múltiplos da carga elementar e:
q_1=Z_{\alpha}e=2e,\qquad q_2=Z_{\mathrm{Au}}e=79e.

Passo 4

Escrevendo K_i usando a fórmula da energia potencial e substituindo as cargas:
K_i = U(r)=\dfrac{k\,(2e)(79e)}{r}=\dfrac{k\,(158)\,e^{2}}{r}.
Aqui cada símbolo significa:
  • k constante eletrostática ( \,8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},);
  • e carga elementar ( \,e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},);
  • r=9,23\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado (faça assim na prova se quiser conferir ou usar calculadora):
  1. Calcular e^{2}:
e^{2}=(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C})^{2}=2,5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
  1. Multiplicar por 158:
158\,e^{2}=158\times2,5669699\times10^{-38}=4,0566672\times10^{-36}\\ \mathrm{C^{2}}.
  1. Multiplicar por k:
k\cdot(158\,e^{2})=(8,988\times10^{9})\times(4,0566672\times10^{-36}) =3,6469\times10^{-26}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  1. Dividir por r para obter U(r):
K_i=\dfrac{3,6469\times10^{-26}}{9,23\times10^{-15}}=3,952\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
  1. Converter para MeV: 1\\ \mathrm{MeV}=1,602176634\times10^{-13}\\ \mathrm{J}, então
K_i=\dfrac{3,952\times10^{-12}\\ \mathrm{J}}{1,602176634\times10^{-13}\\ \mathrm{J/MeV}}=24,6\\ \mathrm{MeV}.
Observação prática (atalho usado frequentemente em física nuclear): a constante k e^{2} pode ser escrita como \,1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm} aproximadamente, de modo que
K_i\approx\dfrac{1,44\\ \mathrm{MeV\cdot fm}\times(2\times79)}{9,23\\ \mathrm{fm}}=\dfrac{1,44\times158}{9,23}\\ \mathrm{MeV}\approx24,6\\ \mathrm{MeV},
o que dá o mesmo resultado e é muito prático quando se trabalha com distâncias em femtômetros.

Passo 6

Interpretação final e incentivo rápido: a resposta significa que a partícula alfa precisava ter cerca de 24,6\\ \mathrm{MeV} de energia cinética vindo de longe para penetrar até 9,23\\ \mathrm{fm} do núcleo de ouro antes de ser repelida. Mandou bem por pedir passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova!

Resposta

K_i = 24,6\\ \mathrm{MeV} = 3,95\times10^{-12}\\ \mathrm{J}

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