Uma partícula alfa (dois prótons e dois nêutrons) se aproxima de um átomo de ouro estacionário ( 79 prótons e 118 nêutrons), passando pela nuvem de elétrons e rumando diretamente para o núcleo (Figura 15). A partícula alfa diminui de velocidade até parar e inverte o movimento quando está a uma distância
do centro do núcleo de ouro. (Como a massa do núcleo de ouro é muito maior que a da partícula alfa, podemos supor que o núcleo de ouro se mantém imóvel durante o processo.)
Qual era a energia cinética
da partícula alfa quando estava a uma distância muito grande (e, portanto, do lado de fora) do átomo de ouro? Suponha que a única força entre a partícula alfa e o núcleo de ouro é a força eletrostática.
Fonte: Exemplo 24-7 do cap. 24 da referência 1.
Qual era a energia cinética
Fonte: Exemplo 24-7 do cap. 24 da referência 1.
Passo 1
O enunciado pede: qual era a energia cinética
, da partícula alfa quando ela estava a uma distância muito grande (ou seja, “infinita”) do átomo de ouro, sabendo que ela foi detida e voltou ao atingir a distância
do centro do núcleo de ouro.
Informações dadas (tudo listado claramente):
Informações dadas (tudo listado claramente):
- Distância de retorno (ponto de maior aproximação):
. - Núcleo de ouro tem carga positiva correspondente a
prótons. - Partícula alfa tem carga positiva correspondente a
prótons (dois prótons e dois nêutrons, mas apenas a carga importa aqui). - Suponha que a única interação importante é a força eletrostática entre cargas (não há perda de energia por outros meios).
O que se pede: calcularnumérico (expressei em unidades usuais: MeV e J).
Passo 2
Princípio físico usado (explicado passo a passo e de forma intuitiva): conservação da energia mecânica.
Quando a partícula vem de muito longe ela tem energia potencial elétrica praticamente zero (campo decai com distância); toda sua energia mecânica inicial é cinética . Ao se aproximar, o campo elétrico do núcleo retarda a partícula convertendo a energia cinética em energia potencial eletrostática. No ponto de maior aproximação a velocidade vira zero, logo a energia cinética final é zero e a energia potencial elétrica é máxima. Pela conservação da energia:
Quando a partícula vem de muito longe ela tem energia potencial elétrica praticamente zero (campo decai com distância); toda sua energia mecânica inicial é cinética
Aqui
e
(a partícula para momentaneamente no ponto de retorno), portanto
Ou seja: a energia cinética inicial é numericamente igual à energia potencial elétrica da interação no ponto de maior aproximação.
Passo 3
Fórmula da energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes e significado das variáveis (aula rápida):
A energia potencial eletrostática entre duas cargas e
separadas por uma distância
é dada por
A energia potencial eletrostática entre duas cargas
onde:
-
é a constante eletrostática (no SI ); -
e são as cargas elétricas em coulombs; -
é a separação em metros;
Unidade deé joule (J). Para converter J em eletrón-volts usamos e .
No nosso caso as cargas são múltiplos da carga elementar
:
Passo 4
Escrevendo
usando a fórmula da energia potencial e substituindo as cargas:
Aqui cada símbolo significa:
-
constante eletrostática ( ,); -
carga elementar ( ,); -
.
Passo 5
Cálculo numérico detalhado (faça assim na prova se quiser conferir ou usar calculadora):
- Calcular
:
- Multiplicar por 158:
- Multiplicar por
:
- Dividir por
para obter :
- Converter para MeV:
, então
Observação prática (atalho usado frequentemente em física nuclear): a constante
pode ser escrita como
aproximadamente, de modo que
o que dá o mesmo resultado e é muito prático quando se trabalha com distâncias em femtômetros.
Passo 6
Interpretação final e incentivo rápido: a resposta significa que a partícula alfa precisava ter cerca de
de energia cinética vindo de longe para penetrar até
do núcleo de ouro antes de ser repelida. Mandou bem por pedir passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova!