Um som apresenta intensidade \mathrm{I}=10^{-6} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Sabendo que \mathrm{I}_{0}=10^{-12} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, determine o nível sonoro em decibéis.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Intensidade sonora medida: I = 10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Intensidade de referência: I_{0} = 10^{-12}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Pergunta: determinar o nível sonoro em decibéis.

Passo 2

Apresento a fórmula que liga intensidade sonora ao nível sonoro em decibéis. Esta é a definição usada em acústica:
L = 10 \log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right).
Explicando cada símbolo:
  • L é o nível sonoro, medido em decibéis ( \mathrm{dB}).
  • I é a intensidade do som (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
  • I_{0} é a intensidade de referência (em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}).
  • \log_{10} é o logaritmo na base 10.
    O fator 10 aparece porque o decibel é uma décima parte do “bel”, e a definição usa uma escala logarítmica para representar razões de potência/intensidade.

Passo 3

Calcule a razão entre as intensidades. Como ambas são potências de dez, podemos usar as propriedades de potências:
\frac{I}{I_{0}}=\frac{10^{-6}}{10^{-12}}=10^{-6-(-12)}=10^{6}.
Explicação passo a passo: dividir 10^{a} por 10^{b} resulta em 10^{a-b}. Aqui a=-6 e b=-12, então a-b=6.

Passo 4

Agora substituímos a razão na fórmula do nível sonoro:
L = 10 \log_{10}\!\left(10^{6}\right).
Usamos a propriedade do logaritmo: \log_{10}\!\left(10^{k}\right)=k. Portanto,
\log_{10}\!\left(10^{6}\right)=6.

Passo 5

Multiplicamos pelo fator 10:
L = 10 \times 6 = 60.
Isto nos dá o valor numérico do nível sonoro.

Passo 6

Interpretação final e observação prática: o som com intensidade 10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} corresponde a um nível de 60\\ \mathrm{dB}. Para intuição rápida: um aumento de 10 dB corresponde a um aumento de 10 vezes na intensidade; aqui a intensidade é 10^{6} vezes a referência, então o nível é 10\log_{10}(10^{6})=60\\ \mathrm{dB}. Você consegue usar esse mesmo processo para qualquer par I e I_{0}.

Resposta

60\\ \mathrm{dB}

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