(4 de 5) Um particula e sua anti-partícula, em repouco, se aniquiliam mutuamente gerando dois fótons. Determine:
(B) O comprimento de onda de cada fóton se a massa total antes da reação fosse de 1898,000 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de cada fóton gerado quando uma partícula e sua antipartícula, estando em repouso, se aniquilam produzindo dois fótons. A informação numérica fornecida é:
  • Massa total antes da reação: m_{\text{tot}} = 1898,000\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.
As perguntas explícitas aqui: calcular o comprimento de onda \lambda de cada fóton produzido.

Passo 2

Conservação de energia e partícula em repouso: como as partículas estavam em repouso, a energia total disponível é apenas a energia de repouso dada por m_{\text{tot}}c^{2}. A aniquilação produz dois fótons, e em referência ao centro de massa (sistema em repouso) eles dividem igualmente a energia. Portanto a energia de cada fóton é
E_{\gamma}=\frac{m_{\text{tot}}c^{2}}{2}.
Aqui m_{\text{tot}} está dada em unidades de \mathrm{MeV}/c^{2}, então m_{\text{tot}}c^{2} dá diretamente energia em \mathrm{MeV}. Substituindo o número:
E_{\gamma}=\frac{1898,000\\ \mathrm{MeV}}{2}=949,000\\ \mathrm{MeV}.

Passo 3

Relação entre energia de um fóton e seu comprimento de onda: para um fóton vale
E=\frac{h c}{\lambda},
onde E é a energia do fóton, h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Reescrevendo para \lambda:
\lambda=\frac{h c}{E}.
É prático usar o produto h c numa unidade compatível com \mathrm{MeV} e metros. Um valor útil é
h c \approx 1,23984\times10^{-12}\\ \mathrm{MeV\cdot m}.
(Esse valor vem de h c \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm} convertido para \mathrm{MeV\cdot m}.)

Passo 4

Agora calculo numérico de \lambda usando E_{\gamma}=949,000\\ \mathrm{MeV}:
\lambda=\frac{1,23984\times10^{-12}\\ \mathrm{MeV\cdot m}}{949,000\\ \mathrm{MeV}}.
Faço a divisão passo a passo: dividir os coeficientes e subtrair os expoentes
\lambda \approx 1,23984\times10^{-12}\div 9,49\times10^{5}= \frac{1,23984}{9,49}\times10^{-12-5}.
\frac{1,23984}{9,49}\approx 0,1306\quad\Rightarrow\quad \lambda\approx 0,1306\times10^{-17}=1,306\times10^{-18}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação numérica e conversão para outra unidade conveniente (femtômetro, 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}):
\lambda\approx 1,306\times10^{-18}\\ \mathrm{m}=1,306\times10^{-3}\\ \mathrm{fm}.
Esse valor é extremamente pequeno, compatível com fótons de energia muito alta (da ordem de centenas de GeV a TeV, aqui centenas de MeV a GeV dependendo da massa fornecida).

Resposta

\lambda \approx 1,306\times10^{-18}\\ \mathrm{m}

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