Uma escada para fuga de incêndio de comprimento L e peso P encontra-se em equilíbrio, apoiada em uma calçada e o seu topo é mantido preso a um pivô. O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível. O centro de gravidade da escada coincide com o seu centro geométrico. A uma distância L / 3 da base da escada encontra-se um bombeiro de peso 3 P. A escada faz um ângulo \theta com a horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada
pelo pivô.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada pelo pivô.
Informações dadas (peguei estes dados da figura/enunciado):
  • Comprimento da escada: \,L.
  • Peso da escada: \,P, aplicado no centro geométrico da escada, isto é, a uma distância \dfrac{L}{2} da base.
  • Há um bombeiro de peso 3P situado a uma distância \dfrac{L}{3} da base.
  • A escada faz um ângulo \theta com a horizontal.
  • O atrito entre a base e a calçada é desprezível (ou seja: a reação da base é apenas uma força normal vertical para cima; não há força horizontal no apoio da base).
  • O pivô está no topo da escada (na parede) e pode exercer uma força qualquer sobre a escada; vamos chamar essa força de \vec{R}=(R_x,R_y).
O enunciado pede a força que o pivô exerce sobre a escada: seu módulo |\vec{R}|, sua direção e seu sentido.

Passo 2

Desenho mental do diagrama de corpo livre e identificação das forças (explicando para a prova):
  • Forças que atuam na escada:
    • Peso da escada: força vertical para baixo de módulo P, aplicada em x=\dfrac{L}{2} (distância medida a partir da base ao longo da escada).
    • Peso do bombeiro: força vertical para baixo de módulo 3P, aplicada em x=\dfrac{L}{3} (a partir da base).
    • Reação da base: como o atrito é desprezível, a base só fornece uma normal vertical para cima; chamo-a de N_b (sem componente horizontal).
    • Força do pivô (no topo): \vec{R}=(R_x,R_y), desconhecida (pode ter componentes horizontal e vertical).
  • Condições de equilíbrio estático para a escada:
    • Equilíbrio de forças horizontais: \sum F_x=0.
    • Equilíbrio de forças verticais: \sum F_y=0.
    • Equilíbrio de momentos (torques): \sum \tau=0 (escolheremos convenientemente o ponto de cálculo do momento para simplificar).
Estratégia (para a prova): tomar momentos em torno do pivô (topo) porque assim a força do pivô não contribui para o momento (braço zero), o que permite encontrar N_b diretamente a partir dos pesos. Depois usar equilíbrio de forças verticais e horizontais para obter R_x e R_y. Explico passo a passo como calcular momentos com as distâncias fornecidas.

Passo 3

Como calcular momentos (lembrete didático rápido):
  • Para uma força vertical F aplicada em um ponto que está a uma distância d ao longo da escada medida a partir da base, o braço perpendicular ao pivô (no topo) é (L-d)\cos\theta. Uma forma segura de ver isso é usar coordenadas: a distância horizontal entre o ponto de aplicação e o pivô é (L-d)\cos\theta; multiplicando pela componente vertical da força dá o momento em módulo.
  • Então o momento (torque) em torno do pivô devido a uma força vertical F aplicada a uma distância d da base tem módulo F\,(L-d)\cos\theta. O sinal depende do sentido (para baixo tende a virar a escada no mesmo sentido, tomar um sentido positivo; aqui vou somar momentos com sinais explícitos).
Agora escrevemos a soma dos momentos em torno do pivô. Tomando positivo o sentido dado pela reação da base N_b (isto é, N_b tende a girar a escada num sentido oposto ao dos pesos), temos:
\sum \tau_{O}=0 \quad\Rightarrow\quad N_b\cdot L\cos\theta - P\cdot\Bigl(L-\frac{L}{2}\Bigr)\cos\theta - 3P\cdot\Bigl(L-\frac{L}{3}\Bigr)\cos\theta = 0.
Explico cada termo:
  • N_b age na base, que está a distância L da pivô ao longo da escada, o braço perpendicular é L\cos\theta, e sua direção é para cima (escolhido positivo).
  • O peso da escada P age no ponto d=\dfrac{L}{2} da base, então o braço em relação ao pivô é L-\dfrac{L}{2}.
  • O bombeiro 3P age em d=\dfrac{L}{3}, então o braço é L-\dfrac{L}{3}.
  • Todos os pesos são verticais para baixo (mesmo sentido), portanto aparecem com sinal negativo.

Passo 4

Resolvo a equação do momento:
N_b L\cos\theta - P\left(L-\frac{L}{2}\right)\cos\theta - 3P\left(L-\frac{L}{3}\right)\cos\theta = 0.
Fatorando L\cos\theta (não é zero),
N_b - P\left(1-\frac{1}{2}\right) - 3P\left(1-\frac{1}{3}\right)=0.
Calcule os parênteses:
1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},\qquad 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Logo
N_b - P\cdot\frac{1}{2} - 3P\cdot\frac{2}{3} = 0.
Simplificando 3P\cdot\frac{2}{3}=2P, obtemos
N_b - \frac{1}{2}P - 2P = 0 \quad\Rightarrow\quad N_b = \frac{5}{2}P.
Portanto a reação vertical da base é \displaystyle N_b=\frac{5}{2}P (para cima). Observe que este resultado depende apenas das distâncias dadas e não de \theta porque o fator \cos\theta cancelou.

Passo 5

Agora usamos equilíbrio de forças verticais e horizontais para achar \vec{R}.
Equilíbrio vertical ( \sum F_y=0):
N_b + R_y - P - 3P = 0.
Substituindo N_b=\dfrac{5}{2}P:
\frac{5}{2}P + R_y - 4P = 0 \quad\Rightarrow\quad R_y = 4P - \frac{5}{2}P = \frac{3}{2}P.
Logo a componente vertical da força do pivô sobre a escada é R_y=\dfrac{3}{2}P e é dirigida para cima.
Equilíbrio horizontal ( \sum F_x=0): a base não fornece força horizontal (atrito desprezível), os pesos são verticais (sem componente horizontal), portanto
R_x = 0.

Passo 6

Compondo as componentes encontramos a força do pivô:
\vec{R}=(R_x,R_y)=(0,\tfrac{3}{2}P).
  • Módulo:
|\vec{R}|=\sqrt{R_x^2+R_y^2}=\sqrt{0^2+\left(\tfrac{3}{2}P\right)^{2}}=\tfrac{3}{2}P.
  • Direção e sentido: direção vertical; sentido para cima (o pivô exerce uma força para cima sobre a escada).
Breve interpretação física (para motivar na prova): como a base dá uma grande parte do suporte (a normal 5/2P), o pivô só precisa fornecer o restante vertical 3/2P; não há equilíbrio horizontal a ser feito pelo pivô neste caso porque o apoio no chão não exerce força horizontal (situação especial devido ao atrito desprezível).

Resposta

\displaystyle |\vec{R}|=\frac{3}{2}P, direção: vertical, sentido: para cima.

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