Uma escada para fuga de incêndio de comprimento L e peso P encontra-se em equilíbrio, apoiada em uma calçada e o seu topo é mantido preso a um pivô. O atrito entre a base da escada e a calçada é desprezível. O centro de gravidade da escada coincide com o seu centro geométrico. A uma distância L / 3 da base da escada encontra-se um bombeiro de peso 3 P. A escada faz um ângulo \theta com a horizontal. Determine o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada
pelo pivô.
pelo pivô.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a escada pelo pivô.
Informações dadas (peguei estes dados da figura/enunciado):
- Comprimento da escada:
. - Peso da escada:
, aplicado no centro geométrico da escada, isto é, a uma distância da base. - Há um bombeiro de peso
situado a uma distância da base. - A escada faz um ângulo
com a horizontal. - O atrito entre a base e a calçada é desprezível (ou seja: a reação da base é apenas uma força normal vertical para cima; não há força horizontal no apoio da base).
- O pivô está no topo da escada (na parede) e pode exercer uma força qualquer sobre a escada; vamos chamar essa força de
.
O enunciado pede a força que o pivô exerce sobre a escada: seu módulo
, sua direção e seu sentido.
Passo 2
Desenho mental do diagrama de corpo livre e identificação das forças (explicando para a prova):
- Forças que atuam na escada:
- Peso da escada: força vertical para baixo de módulo
, aplicada em (distância medida a partir da base ao longo da escada). - Peso do bombeiro: força vertical para baixo de módulo
, aplicada em (a partir da base). - Reação da base: como o atrito é desprezível, a base só fornece uma normal vertical para cima; chamo-a de
(sem componente horizontal). - Força do pivô (no topo):
, desconhecida (pode ter componentes horizontal e vertical).
- Peso da escada: força vertical para baixo de módulo
- Condições de equilíbrio estático para a escada:
- Equilíbrio de forças horizontais:
. - Equilíbrio de forças verticais:
. - Equilíbrio de momentos (torques):
(escolheremos convenientemente o ponto de cálculo do momento para simplificar).
- Equilíbrio de forças horizontais:
Estratégia (para a prova): tomar momentos em torno do pivô (topo) porque assim a força do pivô não contribui para o momento (braço zero), o que permite encontrar
diretamente a partir dos pesos. Depois usar equilíbrio de forças verticais e horizontais para obter
e
. Explico passo a passo como calcular momentos com as distâncias fornecidas.
Passo 3
Como calcular momentos (lembrete didático rápido):
- Para uma força vertical
aplicada em um ponto que está a uma distância ao longo da escada medida a partir da base, o braço perpendicular ao pivô (no topo) é . Uma forma segura de ver isso é usar coordenadas: a distância horizontal entre o ponto de aplicação e o pivô é ; multiplicando pela componente vertical da força dá o momento em módulo. - Então o momento (torque) em torno do pivô devido a uma força vertical
aplicada a uma distância da base tem módulo . O sinal depende do sentido (para baixo tende a virar a escada no mesmo sentido, tomar um sentido positivo; aqui vou somar momentos com sinais explícitos).
Agora escrevemos a soma dos momentos em torno do pivô. Tomando positivo o sentido dado pela reação da base
(isto é,
tende a girar a escada num sentido oposto ao dos pesos), temos:
Explico cada termo:
-
age na base, que está a distância da pivô ao longo da escada, o braço perpendicular é , e sua direção é para cima (escolhido positivo). - O peso da escada
age no ponto da base, então o braço em relação ao pivô é . - O bombeiro
age em , então o braço é . - Todos os pesos são verticais para baixo (mesmo sentido), portanto aparecem com sinal negativo.
Passo 4
Resolvo a equação do momento:
Fatorando
(não é zero),
Calcule os parênteses:
Logo
Simplificando
, obtemos
Portanto a reação vertical da base é
(para cima). Observe que este resultado depende apenas das distâncias dadas e não de
porque o fator
cancelou.
Passo 5
Agora usamos equilíbrio de forças verticais e horizontais para achar
.
Equilíbrio vertical (
):
Substituindo
:
Logo a componente vertical da força do pivô sobre a escada é
e é dirigida para cima.
Equilíbrio horizontal (
): a base não fornece força horizontal (atrito desprezível), os pesos são verticais (sem componente horizontal), portanto
Passo 6
Compondo as componentes encontramos a força do pivô:
- Módulo:
- Direção e sentido: direção vertical; sentido para cima (o pivô exerce uma força para cima sobre a escada).
Breve interpretação física (para motivar na prova): como a base dá uma grande parte do suporte (a normal
), o pivô só precisa fornecer o restante vertical
; não há equilíbrio horizontal a ser feito pelo pivô neste caso porque o apoio no chão não exerce força horizontal (situação especial devido ao atrito desprezível).