Uma partícula atômica (na Mecânica Quântica) está confinada dentro de uma caixa retangular de lados
e
. A partícula é descrita por uma função de onda
que satisfaz a equação de onda de Schrödinger
A função de onda deve se anular em cada superfície da caixa (mas não para ser identicamente zero). Essa condição impõe restrições às constantes de separação e, portanto, à energia
. Qual é o menor valor de
para o qual tal solução pode ser obtida?
A função de onda deve se anular em cada superfície da caixa (mas não para ser identicamente zero). Essa condição impõe restrições às constantes de separação e, portanto, à energia
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que uma partícula atômica está presa num “poço infinito” retangular de lados
,
e
. Isso é um problema clássico de Mecânica Quântica: resolver a equação de Schrödinger independente do tempo
com a condição de que
em cada face da caixa. Para resolver, a gente vai usar separação de variáveis e imposição das condições de contorno, o que vai levar à quantização dos “modos” da onda e, consequentemente, dos valores de
.
Passo 2
A primeira ideia é escrever a função de onda como produto de três funções de uma só variável:
Substituindo isso na equação de Schrödinger e dividindo por
, a gente separa em três equações do tipo
Como cada pedaço depende só de uma coordenada, cada termo tem que ser igual a uma constante negativa, que a gente chama de
,
e
.
Passo 3
Para
, por exemplo, a equação fica
com as condições
e
. A solução não trivial é
e a condição
obriga
Analogamente, a gente encontra
Passo 4
Sabendo
,
e
, a energia é
O menor valor de
ocorre para
, porque são os menores inteiros positivos possíveis.