Uma partícula atômica (na Mecânica Quântica) está confinada dentro de uma caixa retangular de lados a, b e c. A partícula é descrita por uma função de onda psi que satisfaz a equação de onda de Schrödinger
-hbar^22 m nabla^2 psi=E psi
A função de onda deve se anular em cada superfície da caixa (mas não para ser identicamente zero). Essa condição impõe restrições às constantes de separação e, portanto, à energia E. Qual é o menor valor de E para o qual tal solução pode ser obtida?
Resposta: E=pi^2 hbar^22 m(1a^2+1b^2+1c^2)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula atômica está presa num “poço infinito” retangular de lados -hbar^22m,nabla^2psi = E,psi , e . Isso é um problema clássico de Mecânica Quântica: resolver a equação de Schrödinger independente do tempo
com a condição de que em cada face da caixa. Para resolver, a gente vai usar separação de variáveis e imposição das condições de contorno, o que vai levar à quantização dos “modos” da onda e, consequentemente, dos valores de .

Passo 2

A primeira ideia é escrever a função de onda como produto de três funções de uma só variável:
psi(x,y,z) = X(x),Y(y),Z(z)
Substituindo isso na equação de Schrödinger e dividindo por 1X,d^2Xdx^2 + 1Y,d^2Ydy^2 + 1Z,d^2Zdz^2 = -2mEhbar^2 , a gente separa em três equações do tipo
Como cada pedaço depende só de uma coordenada, cada termo tem que ser igual a uma constante negativa, que a gente chama de , e .

Passo 3

Para d^2Xdx^2 + kx^2,X = 0 , por exemplo, a equação fica
X(x) = Asin(kx x),
com as condições kx a = nxpi, nx=1,2,3,dots e ky = nypib, kz = nzpic . A solução não trivial é
e a condição obriga
Analogamente, a gente encontra

Passo 4

Sabendo E = hbar^22ml(kx^2 + ky^2 + kz^2r) = hbar^2pi^22ml(nx^2a^2 + ny^2b^2 + nz^2c^2r) , e , a energia é
O menor valor de ocorre para , porque são os menores inteiros positivos possíveis.

Resposta

Emin = pi^2hbar^22ml(tfrac1a^2 + tfrac1b^2 + tfrac1c^2r)

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