Ache a solução geral:
Passo 1
Beleza, o enunciado é: “Ache a solução geral de
Isso faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a ideia de “equação característica”: a gente supõe uma solução do tipo
, troca na ODE e acha os valores de
. A partir daí, monta a solução geral.
Passo 2
Primeiro, definimos a equação característica associada. Se
, então
Substituindo em
, obtemos
Como
, o que importa é
Passo 3
Resolvendo
, fatoramos:
Isso diz que duas “raízes” da equação característica são 0 e −4. Na teoria de EDOs lineares, cada raiz
gera uma solução
. Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral é a soma dessas duas soluções independentes:
Passo 4
Escrevendo tudo, temos
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (se existirem).