Ache a solução geral:
y^prime prime+4 y^prime=0

Passo 1

Beleza, o enunciado é: “Ache a solução geral de
y'' + 4,y' = 0
Isso faz parte de Equações Diferenciais Ordinárias com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a ideia de “equação característica”: a gente supõe uma solução do tipo , troca na ODE e acha os valores de . A partir daí, monta a solução geral.

Passo 2

Primeiro, definimos a equação característica associada. Se y' = r,e^r x e y'' = r^2,e^r x , então
r^2,e^r x + 4,r,e^r x = 0 Longrightarrow e^r xl(r^2 + 4rr) = 0
Substituindo em r^2 + 4r = 0 , obtemos
Como , o que importa é

Passo 3

Resolvendo r(r + 4) = 0 ;Longrightarrow; r1 = 0 e r2 = -4 , fatoramos:
Isso diz que duas “raízes” da equação característica são 0 e −4. Na teoria de EDOs lineares, cada raiz gera uma solução . Como são duas raízes reais e distintas, a solução geral é a soma dessas duas soluções independentes:

Passo 4

Escrevendo tudo, temos
y(x) = C1,e^0cdot x + C2,e^-4x = C1 + C2,e^-4x,
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais (se existirem).

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,e^-4x

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