Considere a equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas :
Usando o método de separação de varáveis, mostre que podemos separar essa equação em 3 equações do tipo:
onde a solução geral será da forma:
Usando o método de separação de varáveis, mostre que podemos separar essa equação em 3 equações do tipo:
onde a solução geral será da forma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas:
O objetivo é usar o método de separação de variáveis para dividir essa equação em três equações mais simples, cada uma dependendo de uma única variável (
,
,
). Para isso, vamos precisar entender como assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções de cada variável separadamente.
Passo 2
O método de separação de variáveis assume que a solução
pode ser escrita como o produto de funções que dependem cada uma de uma única variável. Ou seja, vamos supor que:
Isso significa que cada função
,
e
depende apenas de uma das coordenadas cartesianas.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma de
na equação de Helmholtz. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação de Helmholtz, temos:
Podemos dividir toda a equação por
para simplificar:
Passo 5
Observamos que o primeiro termo depende apenas de
, o segundo apenas de
e o terceiro apenas de
. Como as variáveis
,
e
são independentes, cada termo deve ser igual a uma constante, já que sua soma resulta em zero independentemente dos valores de
,
e
.
Vamos chamar essas constantes de
,
e
, onde
,
e
são constantes que determinaremos.
Passo 6
Assim, podemos escrever:
Para o termo com
, substituímos na equação original:
Então, temos:
Passo 7
Agora, temos três equações diferenciais ordinárias separadas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Essas equações são mais fáceis de resolver individualmente, pois cada uma depende de uma única variável.
Passo 8
Com as soluções das equações separadas, a solução geral da equação de Helmholtz será o produto das soluções individuais. Ou seja:
Resposta
A solução geral da equação de Helmholtz, usando o método de separação de variáveis, é: