Considere a equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas :
partial^2 psipartial x^2+partial^2 psipartial y^2+partial^2 psipartial z^2+k^2 psi=0
Usando o método de separação de varáveis, mostre que podemos separar essa equação em 3 equações do tipo:

onde a solução geral será da forma:
& 1X d^2 Xd x^2=-l^2 & 1Y d^2 Yd y^2=-m^2 & 1Z d^2 Zd z^2=-k^2+l^2+m^2=-n^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de Helmholtz em coordenadas cartesianas:
partial^2 psipartial x^2 + partial^2 psipartial y^2 + partial^2 psipartial z^2 + k^2 psi = 0
O objetivo é usar o método de separação de variáveis para dividir essa equação em três equações mais simples, cada uma dependendo de uma única variável ( x, y, z). Para isso, vamos precisar entender como assumir que a solução pode ser escrita como um produto de funções de cada variável separadamente.

Passo 2

O método de separação de variáveis assume que a solução psi pode ser escrita como o produto de funções que dependem cada uma de uma única variável. Ou seja, vamos supor que:
psi(x, y, z) = X(x) cdot Y(y) cdot Z(z)
Isso significa que cada função X, Y e Z depende apenas de uma das coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma de psi na equação de Helmholtz. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 psipartial x^2 = Y(y) cdot Z(z) cdot d^2 Xd x^2
partial^2 psipartial y^2 = X(x) cdot Z(z) cdot d^2 Yd y^2
partial^2 psipartial z^2 = X(x) cdot Y(y) cdot d^2 Zd z^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação de Helmholtz, temos:
Y cdot Z cdot d^2 Xd x^2 + X cdot Z cdot d^2 Yd y^2 + X cdot Y cdot d^2 Zd z^2 + k^2 X cdot Y cdot Z = 0
Podemos dividir toda a equação por X cdot Y cdot Z para simplificar:
1X d^2 Xd x^2 + 1Y d^2 Yd y^2 + 1Z d^2 Zd z^2 + k^2 = 0

Passo 5

Observamos que o primeiro termo depende apenas de x, o segundo apenas de y e o terceiro apenas de z. Como as variáveis x, y e z são independentes, cada termo deve ser igual a uma constante, já que sua soma resulta em zero independentemente dos valores de x, y e z.
Vamos chamar essas constantes de -l^2, -m^2 e -n^2, onde l, m e n são constantes que determinaremos.

Passo 6

Assim, podemos escrever:
1X d^2 Xd x^2 = -l^2
1Y d^2 Yd y^2 = -m^2
Para o termo com z, substituímos na equação original:
1Z d^2 Zd z^2 = -k^2 + l^2 + m^2 = -n^2
Então, temos:
-l^2 - m^2 + k^2 = n^2

Passo 7

Agora, temos três equações diferenciais ordinárias separadas:
  1. Para X(x):
d^2 Xd x^2 + l^2 X = 0
  1. Para Y(y):
d^2 Yd y^2 + m^2 Y = 0
  1. Para Z(z):
d^2 Zd z^2 + n^2 Z = 0
Essas equações são mais fáceis de resolver individualmente, pois cada uma depende de uma única variável.

Passo 8

Com as soluções das equações separadas, a solução geral da equação de Helmholtz será o produto das soluções individuais. Ou seja:
psilm(x, y, z) = Xl(x) cdot Ym(y) cdot Zn(z)

Resposta

A solução geral da equação de Helmholtz, usando o método de separação de variáveis, é:
psilm(x, y, z) = Xl(x) , Ym(y) , Zn(z)

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