Uma partícula que busca o calor está localizada no ponto P(1,4) de um plano de metal, cuja temperatura no ponto (x, y) é T(x, y)=5-4 x^{2}-y^{2}. Determine uma equação para a trajetória da partícula se ela se move continuamente na direção do aumento máximo da temperatura.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede:
  • Temperatura no plano: T(x,y)=5-4x^{2}-y^{2}.
  • A partícula está inicialmente no ponto P(1,4).
  • Pergunta: determinar uma equação para a trajetória da partícula se ela se move continuamente na direção de aumento máximo da temperatura.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ponto inicial: (x,y)=(1,4).
  • A trajetória procurada é a curva no plano seguida pela partícula quando, a cada instante, ela aponta na direção de máximo aumento de T.

Passo 2

Entendendo o que significa “direção do aumento máximo da temperatura” (uma mini-aula intuitiva).
  • Para uma função de duas variáveis T(x,y), o vetor gradiente \nabla T é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de T e sua magnitude dá a taxa (rapidez) desse crescimento.
  • Componentes do gradiente são as derivadas parciais: se T(x,y) é dada, então
\nabla T(x,y)=\left(\dfrac{\partial T}{\partial x},\dfrac{\partial T}{\partial y}\right).
  • No nosso caso calculemos as derivadas parciais passo a passo:
\dfrac{\partial T}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(5-4x^{2}-y^{2}\bigr)=-8x,
\dfrac{\partial T}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(5-4x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y.
  • Logo o gradiente é
\nabla T(x,y)=(-8x,\,-2y).
Explicação em palavras: em cada ponto (x,y) o vetor (-8x,-2y) mostra para onde \,T, sobe mais rápido.

Passo 3

Relacionando a direção do movimento com o gradiente (montando a equação da trajetória).
  • A partícula “se move continuamente na direção do aumento máximo”, isto é, a direção do vetor velocidade \bigl(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\bigr) é a mesma do vetor \nabla T em cada ponto. Isso implica que estes vetores são proporcionais:
\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right)=\lambda(t)\,(-8x,-2y),
onde \lambda(t)>0 pode ser qualquer fator escalar que ajuste a velocidade ao longo do tempo (não altera a forma da curva, só a parametrização).
  • Para obter a equação da curva no plano (sem precisar de \lambda(t)), dividimos as componentes para eliminar t:
\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{-2y}{-8x}.
  • Portanto a inclinação da trajetória satisfaz a equação diferencial ordinária (ODE) em (x,y):
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{4x}.
Comentário: esta ODE diz que, em cada ponto, a razão entre a variação vertical e horizontal da curva é y/(4x).

Passo 4

Resolver a ODE separável passo a passo.
  • A ODE é separável porque podemos colocar termos em y de um lado e termos em x do outro:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{4x}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{y}\,dy=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Integramos ambos os lados (explicando a integração): integrar \dfrac{1}{y}\,dy \ln|y|; integrar \dfrac{1}{x}\,dx \ln|x|. Assim:
\int \dfrac{1}{y}\,dy = \int \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y|=\dfrac{1}{4}\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados para resolver para y:
|y|=e^{C}\,|x|^{1/4}.
Definindo C'=e^{C}>0, obtemos
|y|=C'\,|x|^{1/4}.

Passo 5

Usar a condição inicial e interpretar domínio.
  • A partícula começa em P(1,4) com x=1>0 e y=4>0. Perto do ponto inicial podemos tomar x>0 e y>0, então as barras de valor absoluto podem ser retiradas:
y=C'\,x^{1/4}.
  • A constante C' é determinada pela condição inicial y(1)=4:
4=C'\cdot 1^{1/4}\quad\Rightarrow\quad C'=4.
  • Portanto a solução que passa por P(1,4) é
y=4\,x^{1/4},\qquad x>0.
  • Observação prática: também é possível escrever a curva de forma implícita elevando ambos os lados à quarta potência:
y^{4}=256\,x,
já que 4^{4}=256. Ambas as formas representam a mesma trajetória; a forma explícita y=4x^{1/4} é mais direta.

Resposta

y=4\,x^{1/4}

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