Uma partícula que busca o calor está localizada no ponto
de um plano de metal, cuja temperatura no ponto
é
. Determine uma equação para a trajetória da partícula se ela se move continuamente na direção do aumento máximo da temperatura.
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede:
- Temperatura no plano:
. - A partícula está inicialmente no ponto
. - Pergunta: determinar uma equação para a trajetória da partícula se ela se move continuamente na direção de aumento máximo da temperatura.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ponto inicial:
. - A trajetória procurada é a curva no plano seguida pela partícula quando, a cada instante, ela aponta na direção de máximo aumento de
.
Passo 2
Entendendo o que significa “direção do aumento máximo da temperatura” (uma mini-aula intuitiva).
- Para uma função de duas variáveis
, o vetor gradiente é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de e sua magnitude dá a taxa (rapidez) desse crescimento. - Componentes do gradiente são as derivadas parciais: se
é dada, então
- No nosso caso calculemos as derivadas parciais passo a passo:
- Logo o gradiente é
Explicação em palavras: em cada ponto
o vetor
mostra para onde
, sobe mais rápido.
Passo 3
Relacionando a direção do movimento com o gradiente (montando a equação da trajetória).
- A partícula “se move continuamente na direção do aumento máximo”, isto é, a direção do vetor velocidade
é a mesma do vetor em cada ponto. Isso implica que estes vetores são proporcionais:
onde
pode ser qualquer fator escalar que ajuste a velocidade ao longo do tempo (não altera a forma da curva, só a parametrização).
- Para obter a equação da curva no plano (sem precisar de
), dividimos as componentes para eliminar :
- Portanto a inclinação da trajetória satisfaz a equação diferencial ordinária (ODE) em
:
Comentário: esta ODE diz que, em cada ponto, a razão entre a variação vertical e horizontal da curva é
.
Passo 4
Resolver a ODE separável passo a passo.
- A ODE é separável porque podemos colocar termos em
de um lado e termos em do outro:
- Integramos ambos os lados (explicando a integração): integrar
dá ; integrar dá . Assim:
onde
é constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Definindo
, obtemos
Passo 5
Usar a condição inicial e interpretar domínio.
- A partícula começa em
com e . Perto do ponto inicial podemos tomar e , então as barras de valor absoluto podem ser retiradas:
- A constante
é determinada pela condição inicial :
- Portanto a solução que passa por
é
- Observação prática: também é possível escrever a curva de forma implícita elevando ambos os lados à quarta potência:
já que
. Ambas as formas representam a mesma trajetória; a forma explícita
é mais direta.