Encontre as equações paramétricas da curva que é a parte do círculo x^{2}+y^{2}= 1 que está no terceiro quadrante orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da parte da circunferência dada por \,x^{2}+y^{2}=1\, que está no terceiro quadrante, com orientação no sentido anti-horário.
Informações fornecidas:
  • A curva é o círculo unitário: \,x^{2}+y^{2}=1\,.
  • Queremos apenas a porção no terceiro quadrante, ou seja os pontos com \,x<0\, e \,y<0\,.
  • A orientação solicitada é anti-horária (crescimento do parâmetro deve mover o ponto no sentido anti-horário).
    O objetivo é escrever x e y como funções de um parâmetro (por exemplo t ou u) e indicar o intervalo desse parâmetro que gera exatamente a parte pedida, obedecendo a orientação.

Passo 2

Uma forma padrão e natural de parametrizar o círculo unitário é usar o ângulo polar. A identidade trigonométrica fundamental é
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,
portanto, para qualquer \theta podemos definir
x=\cos\theta,\qquad y=\sin\theta,
e automaticamente \,x^{2}+y^{2}=1\,. Aqui \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo dos x, e quando \theta aumenta os pontos se movem no sentido anti-horário — exatamente a orientação que queremos.

Passo 3

Agora precisamos escolher o intervalo de \theta que corresponde ao terceiro quadrante. Lembrando a convenção angular:
  • \theta=0 aponta para (1,0) (eixo positivo x);
  • \theta=\pi/2 aponta para (0,1) (eixo positivo y);
  • \theta=\pi aponta para (-1,0) (eixo negativo x);
  • \theta=3\pi/2 aponta para (0,-1) (eixo negativo y).
    O terceiro quadrante corresponde aos ângulos entre \pi e 3\pi/2, onde tanto \cos\theta quanto \sin\theta são negativos. Portanto o intervalo apropriado é
\theta\in(\pi,\,3\pi/2),
se quisermos apenas os pontos estritamente no terceiro quadrante (excluindo os pontos das bordas nos eixos). Se aceitar incluir os pontos das bordas, poderia usar \theta\in[\pi,\,3\pi/2]; nessa resposta vou indicar a forma estrita, que respeita x<0 e y<0.

Passo 4

Concluindo a parametrização padrão: tomando o parâmetro t igual ao ângulo \theta, uma parametrização que gera exatamente a parte do círculo no terceiro quadrante com orientação anti-horária é
x=\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in(\pi,\,3\pi/2).
Explicando a orientação: à medida que t aumenta dentro desse intervalo, o ponto descrito por (\cos t,\sin t) se desloca no sentido anti-horário ao longo do arco do círculo.

Passo 5

Uma parametrização alternativa (às vezes mais intuitiva) usa um parâmetro positivo pequeno medindo quanto o ângulo se afasta de \pi. Defina t=\pi+u com u\in(0,\,\pi/2). Então
x=\cos(\pi+u)=-\cos u,\qquad y=\sin(\pi+u)=-\sin u,\qquad u\in(0,\,\pi/2).
Nesta forma vemos explicitamente que x e y são negativos (pois \cos u>0 e \sin u>0 para u\in(0,\pi/2)), o que sublinha que estamos no terceiro quadrante. A orientação continua anti-horária porque aumentar u aumenta t=\pi+u.

Passo 6

Pequeno teste numérico para conferir: escolhendo u=\pi/4 na parametrização alternativa obtemos
x=-\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad y=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},
que é um ponto com x<0 e y<0 sobre a circunferência unitária, portanto dentro do terceiro quadrante. Se aumentarmos u o ponto gira no sentido anti-horário (isto é, move-se em direção ao ponto (0,-1)).

Passo 7

Resumo do que foi feito e dica para a prova: a maneira mais direta é lembrar que a parametrização do círculo unitário por ângulo dá x=\cos t,\;y=\sin t. Para selecionar um quadrante, escolhe-se o intervalo de t correspondente (no terceiro quadrante, entre \pi e 3\pi/2). Se quiser uma expressão sem sinais trigonométricos negativos explícitos, use t=\pi+u com u\in(0,\pi/2) e escreva x=-\cos u,\;y=-\sin u.

Resposta

x=\cos t,\;y=\sin t,\;t\in(\pi,\,3\pi/2)
x=-\cos u,\;y=-\sin u,\;u\in(0,\,\pi/2)

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