Encontre as equações paramétricas da curva que é a parte do círculo
1 que está no terceiro quadrante orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da parte da circunferência dada por
que está no terceiro quadrante, com orientação no sentido anti-horário.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A curva é o círculo unitário:
. - Queremos apenas a porção no terceiro quadrante, ou seja os pontos com
e . - A orientação solicitada é anti-horária (crescimento do parâmetro deve mover o ponto no sentido anti-horário).
O objetivo é escrevere como funções de um parâmetro (por exemplo ou ) e indicar o intervalo desse parâmetro que gera exatamente a parte pedida, obedecendo a orientação.
Passo 2
Uma forma padrão e natural de parametrizar o círculo unitário é usar o ângulo polar. A identidade trigonométrica fundamental é
portanto, para qualquer
podemos definir
e automaticamente
. Aqui
é o ângulo medido a partir do eixo positivo dos
, e quando
aumenta os pontos se movem no sentido anti-horário — exatamente a orientação que queremos.
Passo 3
Agora precisamos escolher o intervalo de
que corresponde ao terceiro quadrante. Lembrando a convenção angular:
-
aponta para (eixo positivo ); -
aponta para (eixo positivo ); -
aponta para (eixo negativo ); -
aponta para (eixo negativo ).
O terceiro quadrante corresponde aos ângulos entree , onde tanto quanto são negativos. Portanto o intervalo apropriado é
se quisermos apenas os pontos estritamente no terceiro quadrante (excluindo os pontos das bordas nos eixos). Se aceitar incluir os pontos das bordas, poderia usar
; nessa resposta vou indicar a forma estrita, que respeita
e
.
Passo 4
Concluindo a parametrização padrão: tomando o parâmetro
igual ao ângulo
, uma parametrização que gera exatamente a parte do círculo no terceiro quadrante com orientação anti-horária é
Explicando a orientação: à medida que
aumenta dentro desse intervalo, o ponto descrito por
se desloca no sentido anti-horário ao longo do arco do círculo.
Passo 5
Uma parametrização alternativa (às vezes mais intuitiva) usa um parâmetro positivo pequeno medindo quanto o ângulo se afasta de
. Defina
com
. Então
Nesta forma vemos explicitamente que
e
são negativos (pois
e
para
), o que sublinha que estamos no terceiro quadrante. A orientação continua anti-horária porque aumentar
aumenta
.
Passo 6
Pequeno teste numérico para conferir: escolhendo
na parametrização alternativa obtemos
que é um ponto com
e
sobre a circunferência unitária, portanto dentro do terceiro quadrante. Se aumentarmos
o ponto gira no sentido anti-horário (isto é, move-se em direção ao ponto
).
Passo 7
Resumo do que foi feito e dica para a prova: a maneira mais direta é lembrar que a parametrização do círculo unitário por ângulo dá
. Para selecionar um quadrante, escolhe-se o intervalo de
correspondente (no terceiro quadrante, entre
e
). Se quiser uma expressão sem sinais trigonométricos negativos explícitos, use
com
e escreva
.