Calcule o limite lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y zx^2+y^2+z^2 ao longo da curva:
a) x=t, y=t, z=t
b) x=t, y=t, z=0
c) O limite lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y zx^2+y^2+z^2 existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis ao se aproximar de (0,0,0) ao longo de curvas específicas. O conteúdo é limites de funções de várias variáveis e vamos usar parametrizações das curvas e verificar se o limite depende do caminho.

Passo 2

Na curva x=t, y=t, z=t substituímos na expressão. O numerador fica t·t + t·t = 2t² e o denominador t² + t² + t² = 3t². Assim obtemos 2t²3t² = 23²². Como esse valor independe de t (para t≠0), o limite é 23.

Passo 3

Na curva x=t, y=t, z=0 substituímos na expressão. O numerador fica t·t + t·0 = t² e o denominador t² + t² + 0 = 2t². Logo o quociente é t²2t² = 12²². Assim o limite é 12.

Passo 4

Como ao longo de duas curvas diferentes obtivemos 23 e 12, o valor do limite varia conforme o caminho. Portanto o limite geral em (0,0,0) não existe.

Resposta

a) tfrac23; b) tfrac12; c) Não existe, pois os limites ao longo de diferentes caminhos são distintos.

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