Calcule o limite
ao longo da curva:
a)
b)
c) O limite
existe? Justifique.
a)
b)
c) O limite
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis ao se aproximar de (0,0,0) ao longo de curvas específicas. O conteúdo é limites de funções de várias variáveis e vamos usar parametrizações das curvas e verificar se o limite depende do caminho.
Passo 2
Na curva x=t, y=t, z=t substituímos na expressão. O numerador fica t·t + t·t = 2t² e o denominador t² + t² + t² = 3t². Assim obtemos
. Como esse valor independe de t (para t≠0), o limite é
.
Passo 3
Na curva x=t, y=t, z=0 substituímos na expressão. O numerador fica t·t + t·0 = t² e o denominador t² + t² + 0 = 2t². Logo o quociente é
. Assim o limite é
.
Passo 4
Como ao longo de duas curvas diferentes obtivemos
e
, o valor do limite varia conforme o caminho. Portanto o limite geral em (0,0,0) não existe.
Resposta
a)
; b)
; c) Não existe, pois os limites ao longo de diferentes caminhos são distintos.