Para uma partícula em uma caixa, mostre que a diferença fracional em energia entre autovalores adjacentes é
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a expressão da diferença fracional entre autovalores adjacentes de energia para uma partícula numa caixa (poço infinito unidimensional). Ou seja, mostrar que
Informações relevantes dadas (ou implicitamente padrão neste problema):
e os níveis de energia quantizados
são os autovalores do problema do poço infinito com condições de contorno
. Os valores de
são inteiros positivos
.
Passo 2
Vou relembrar como surgem os autovalores
(passo-a-passo didático). No interior da caixa (potencial zero) a equação de Schrödinger estacionária é
Aqui
é a constante de Planck reduzida,
a massa da partícula,
a energia e
a função de onda. Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem cuja solução geral é combinação de senos e cossenos:
onde
está relacionado à energia por
Passo 3
Aplicamos as condições de contorno do poço infinito. Em
temos
, o que implica
Portanto
. Em
temos
, logo
Para que exista solução não-trivial (
) é necessário
, daí
ou seja
Passo 4
Usando
obtemos os autovalores de energia substituindo
:
Isolando
vem
Aqui
é o enésimo nível de energia.
Passo 5
Agora calculo a diferença entre níveis adjacentes:
Portanto
Faço a conta
passo a passo:
Logo
Passo 6
Agora a diferença fracional pedida é
Substituo as expressões encontradas. Note que tanto
quanto
contêm o mesmo fator comum
, então ao dividir eles cancelam. Escrevo isso claramente:
A simplificação é apenas o cancelamento do prefator físico e a divisão do polinômio em
.
Passo 7
Interpretação curta (útil na prova): a diferença absoluta
cresce com
(pois
), mas a diferença relativa
decresce com
aproximadamente como
para
grande. Exemplos numéricos rápidos: para
a fração vale
(isto é,
); para
vale
.