Uma partícula num campo central move-se numa orbita espiral
, onde
é uma constante positiva. Encontre a forma da função força e como o ângulo
varia com o tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula que se move em um campo central seguindo uma órbita espiral dada por $ r = c \theta^2 $, onde $ c $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é descobrir qual é a forma da função força que atua nessa partícula e como o ângulo $ \theta $ muda com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento em coordenadas polares e as leis de Newton aplicadas a esse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, em coordenadas polares, o movimento de uma partícula pode ser descrito pelas equações de posição $ r(\theta) $ e $ \theta(t) $. Aqui, já temos $ r $ em função de $ \theta $: $ r = c \theta^2 $. Nosso próximo passo é encontrar como $ \theta $ varia com o tempo, ou seja, $ \theta(t) $.
Passo 3
Para encontrar $ \theta(t) $, precisamos relacionar as derivadas de $ r $ e $ \theta $ com o tempo. Vamos usar a regra da cadeia para derivadas. Primeiro, derivamos $ r $ em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos considerar as forças atuando na partícula. Em um campo central, a força atua radialmente e é responsável pelo movimento circular ou espiral da partícula. A segunda lei de Newton adaptada para coordenadas polares nos dá a equação:
onde $ F_r $ é a força radial, e $ m $ é a massa da partícula.
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{d^2 r}{dt^2} $. Primeiro, encontramos $ \frac{dr}{dt} = 2c \theta \frac{d\theta}{dt} $. Derivando novamente em relação ao tempo:
Passo 6
Substituindo $ r $, $ \frac{dr}{dt} $ e $ \frac{d^2 r}{dt^2} $ na equação da força radial:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, assumiremos uma relação simplificada entre $ \theta $ e $ t $. Vamos supor que $ \theta(t) $ é uma função linear, por exemplo, $ \theta(t) = k t $, onde $ k $ é uma constante. Isso implica que $ \frac{d\theta}{dt} = k $ e $ \frac{d^2 \theta}{dt^2} = 0 $.
Passo 9
Substituindo $ \theta(t) = k t $ na equação da força radial:
Passo 10
Então, a força radial $ F_r $ depende do tempo quadraticamente e é dada por:
Para achar como $ \theta $ varia com o tempo de forma mais precisa, precisaríamos resolver a equação diferencial original com condições iniciais específicas.
Resposta
A força radial que atua na partícula é $ F_r(t) = 2m c k^2 - m c k^4 t^2 $, e o ângulo $ \theta $ varia com o tempo de acordo com $ \theta(t) = k t $, onde $ k $ é uma constante.