Uma partícula de carga
, massa
é colocada em repouso numa posição S1 a uma distância
do centro de uma esfera de raio
. A partir de então ela é acelerada até uma posição S2, a uma distância
do centro da esfera. Calcule a velocidade da partícula ao passar pela posição S2.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem enviada).
- Uma partícula de carga
e massa está inicialmente em repouso na posição , a uma distância do centro da esfera. - A partícula é acelerada até passar pela posição
, a uma distância do centro da esfera. - A esfera tem raio
e carga indicada na figura como . (Esses símbolos e a posição relativa foram obtidos da imagem.) - Observação geométrica extraída da imagem: as posições
e estão fora da esfera (ou seja, e segundo o desenho).
O que o enunciado pede: calcular a velocidade da partícula ao passar por
.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas): usar a conservação da energia mecânica eletrostática. Vou explicar o conceito antes de aplicar.
- A energia total mecânica da partícula é a soma da energia cinética
e da energia potencial elétrica . - Se atuam apenas forças eletrostáticas conservativas e não há perda de energia por outras vias, a energia total se conserva:
- Neste problema a partícula parte do repouso em
, então . Queremos em , de onde obteremos a velocidade.
Passo 3
Definir a energia potencial elétrica usada aqui (aula rápida e concreta sobre potencial):
- Para uma carga pontual
fixa e uma carga de prova separadas por distância , a energia potencial é
onde
. Aqui
e
podem ter sinais; o produto determina se
é positivo ou negativo.
- Para uma esfera carregada com carga total
, o potencial fora da esfera (para ) é idêntico ao de uma carga pontual concentrada no centro:
- A energia potencial da partícula de carga
nessa região é então
Passo 4
Aplicar conservação de energia entre
(distância
) e
(distância
) — ambos fora da esfera segundo a imagem:
- Energia inicial:
- Energia final (na posição
):
- Igualando inicial e final:
Passo 5
Isolar
e desenvolver as contas com calma:
- Subtrair
de ambos os lados:
- Fatorar
:
- Multiplicar por
e extrair :
Passo 6
Observações físicas e sobre o sinal:
- A expressão dentro da raiz deve ser não negativa para haver velocidade real. Isso quer dizer que o produto
precisa ser positivo. Se for negativo, o sentido da aceleração e a configuração de movimento devem ser reanalisados (por exemplo a partícula pode ser atraída ou repelida dependendo dos sinais de e e de qual distância é maior). - Em muitos enunciados assume-se que a partícula é acelerada no sentido indicado, logo a combinação de sinais e das distâncias torna o conteúdo da raiz positivo. Aqui assumimos o caso típico em que a expressão acima é positiva.