(0,8) Uma partícula de carga \boldsymbol{q}, massa \boldsymbol{m} é colocada em repouso numa posição S1 a uma distância \boldsymbol{R} do centro de uma esfera de raio \boldsymbol{a}. A partir de então ela é acelerada até uma posição S2, a uma distância \boldsymbol{r} do centro da esfera. Calcule a velocidade da partícula ao passar pela posição S2.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes dados da imagem enviada).
  • Uma partícula de carga \,q e massa \,m está inicialmente em repouso na posição S_1, a uma distância \,R do centro da esfera.
  • A partícula é acelerada até passar pela posição S_2, a uma distância \,r do centro da esfera.
  • A esfera tem raio \,a e carga indicada na figura como \,Q_0. (Esses símbolos e a posição relativa foram obtidos da imagem.)
  • Observação geométrica extraída da imagem: as posições S_1 e S_2 estão fora da esfera (ou seja, \,R\ge a e \,r\ge a segundo o desenho).
O que o enunciado pede: calcular a velocidade da partícula ao passar por S_2.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo, sem pular etapas): usar a conservação da energia mecânica eletrostática. Vou explicar o conceito antes de aplicar.
  • A energia total mecânica da partícula é a soma da energia cinética K e da energia potencial elétrica U.
  • Se atuam apenas forças eletrostáticas conservativas e não há perda de energia por outras vias, a energia total se conserva:
K_{\text{inicial}}+U_{\text{inicial}}=K_{\text{final}}+U_{\text{final}}.
  • Neste problema a partícula parte do repouso em S_1, então K_{\text{inicial}}=0. Queremos K_{\text{final}} em S_2, de onde obteremos a velocidade.

Passo 3

Definir a energia potencial elétrica usada aqui (aula rápida e concreta sobre potencial):
  • Para uma carga pontual Q fixa e uma carga de prova q separadas por distância d, a energia potencial é
U(d)=k\frac{qQ}{d},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Aqui q e Q podem ter sinais; o produto determina se U é positivo ou negativo.
  • Para uma esfera carregada com carga total \,Q_0, o potencial fora da esfera (para \,r\ge a) é idêntico ao de uma carga pontual \,Q_0 concentrada no centro:
V(r)=k\frac{Q_0}{r}\quad\text{para }\;r\ge a.
  • A energia potencial da partícula de carga \,q nessa região é então
U(r)=qV(r)=k\frac{qQ_0}{r}\quad\text{para }\;r\ge a.

Passo 4

Aplicar conservação de energia entre S_1 (distância R) e S_2 (distância r) — ambos fora da esfera segundo a imagem:
  • Energia inicial:
K_{\text{inicial}}+U_{\text{inicial}}=0 + k\frac{qQ_0}{R}=k\frac{qQ_0}{R}.
  • Energia final (na posição S_2):
K_{\text{final}}+U_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}mv^2 + k\frac{qQ_0}{r}.
  • Igualando inicial e final:
k\frac{qQ_0}{R}=\tfrac{1}{2}mv^2 + k\frac{qQ_0}{r}.

Passo 5

Isolar v e desenvolver as contas com calma:
  • Subtrair k\frac{qQ_0}{r} de ambos os lados:
k\frac{qQ_0}{R}-k\frac{qQ_0}{r}=\tfrac{1}{2}mv^2.
  • Fatorar kqQ_0:
kqQ_0\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)=\tfrac{1}{2}mv^2.
  • Multiplicar por 2/m e extrair v:
v=\sqrt{\dfrac{2kqQ_0}{m}\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)}.

Passo 6

Observações físicas e sobre o sinal:
  • A expressão dentro da raiz deve ser não negativa para haver velocidade real. Isso quer dizer que o produto qQ_0\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right) precisa ser positivo. Se for negativo, o sentido da aceleração e a configuração de movimento devem ser reanalisados (por exemplo a partícula pode ser atraída ou repelida dependendo dos sinais de q e Q_0 e de qual distância é maior).
  • Em muitos enunciados assume-se que a partícula é acelerada no sentido indicado, logo a combinação de sinais e das distâncias torna o conteúdo da raiz positivo. Aqui assumimos o caso típico em que a expressão acima é positiva.

Resposta

v=\sqrt{\dfrac{2}{m}\cdot\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,qQ_0\!\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{r}\right)}

Exercícios relacionados